Provar que quando dois triângulos retângulos são semelhantes, o produto das hipotenusas é igual à soma dos produtos dos outros lados homólogos.
Passo 1
O enunciado pede para triângulos retângulos
e
semelhantes (ângulo reto em
e em
), provar que, tomando as hipotenusas
e
e os catetos correspondentes
,
,
,
, vale
Vamos usar as propriedades de semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Da semelhança de triângulos segue que os lados homólogos são proporcionais. Logo existe
tal que
Em particular,
Passo 3
Aplicamos o Teorema de Pitágoras em cada triângulo:
Multiplicando membro a membro, fica
Passo 4
Expandindo o produto do lado direito,
Mas da proporcionalidade temos
, então
Logo
Passo 5
Substituindo no expandido,
Portanto
Como todos os comprimentos são positivos, podemos extrair raiz positiva: