Provar que quando dois triângulos retângulos são semelhantes, o produto das hipotenusas é igual à soma dos produtos dos outros lados homólogos.

Passo 1

O enunciado pede para triângulos retângulos ABC e A'B'C' semelhantes (ângulo reto em C e em C'), provar que, tomando as hipotenusas AB=c e A'B'=c' e os catetos correspondentes AC=a, BC=b, A'C'=a', B'C'=b', vale
c\,c' \;=\; a\,a' \;+\; b\,b'.
Vamos usar as propriedades de semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Da semelhança de triângulos segue que os lados homólogos são proporcionais. Logo existe k>0 tal que
\frac{a}{a'} \;=\;\frac{b}{b'}\;=\;\frac{c}{c'}\;=\;k.
Em particular,
a\,b' \;=\; a'\,b.

Passo 3

Aplicamos o Teorema de Pitágoras em cada triângulo:
c^2 \;=\; a^2 + b^2, \quad c'^2 \;=\; a'^2 + b'^2.
Multiplicando membro a membro, fica
c^2\,c'^2 \;=\;(a^2 + b^2)\,(a'^2 + b'^2).

Passo 4

Expandindo o produto do lado direito,
(a^2 + b^2)\,(a'^2 + b'^2) \;=\; a^2a'^2 \;+\; a^2b'^2 \;+\; b^2a'^2 \;+\; b^2b'^2.
Mas da proporcionalidade temos a\,b'=a'\,b, então
a^2b'^2 \;=\;(a\,b')^2 \;=\;(a'\,b)^2 \;=\; b^2a'^2.
Logo
a^2b'^2 + b^2a'^2 \;=\;2\,a\,a'\,b\,b'.

Passo 5

Substituindo no expandido,
(a^2 + b^2)\,(a'^2 + b'^2) = a^2a'^2 + 2\,a\,a'\,b\,b' + b^2b'^2 = (a\,a' + b\,b')^2.
Portanto
c^2\,c'^2 = (a\,a' + b\,b')^2.
Como todos os comprimentos são positivos, podemos extrair raiz positiva:
c\,c' = a\,a' + b\,b'.

Resposta

c\,c' = a\,a' + b\,b'.

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