Provar que o produto das bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo é igual ao quadrado do diâmetro do círculo.
Passo 1
Resumindo: seja um trapézio isósceles
com
e
,
, circunscrito a um círculo de raio
. Como o trapézio é isósceles, os lados não paralelos são iguais:
. Vamos usar (i) a condição de tangência (quadrilátero tangencial), (ii) a altura do trapézio como distância entre as bases, e (iii) o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura e meia-diferença das bases.
Passo 2
Em todo quadrilátero tangencial a soma dos comprimentos de lados opostos é igual. Assim,
Como
, segue
Passo 3
A altura
do trapézio é exatamente a distância entre as retas paralelas
e
. Como ambas são tangentes ao círculo de raio
, essa distância vale o diâmetro:
Passo 4
Em um trapézio isósceles a reta que une os pontos médios das bases é perpendicular às bases e, nos triângulos retângulos formados, vale
Passo 5
Substituindo
e
na equação do passo anterior:
Multiplicando por 4 e desenvolvendo,
Resposta
O produto das bases é
isto é, igual ao quadrado do diâmetro do círculo.