Provar que o produto das bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo é igual ao quadrado do diâmetro do círculo.

Passo 1

Resumindo: seja um trapézio isósceles ABCD com AB\parallel CD e AB=a, CD=b, circunscrito a um círculo de raio r. Como o trapézio é isósceles, os lados não paralelos são iguais: AD=BC=l. Vamos usar (i) a condição de tangência (quadrilátero tangencial), (ii) a altura do trapézio como distância entre as bases, e (iii) o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura e meia-diferença das bases.

Passo 2

Em todo quadrilátero tangencial a soma dos comprimentos de lados opostos é igual. Assim,
AB + CD = AD + BC.
Como AD=BC=l, segue
a + b = 2l \quad\Longrightarrow\quad l = \frac{a+b}{2}.

Passo 3

A altura h do trapézio é exatamente a distância entre as retas paralelas AB e CD. Como ambas são tangentes ao círculo de raio r, essa distância vale o diâmetro:
h = 2r.

Passo 4

Em um trapézio isósceles a reta que une os pontos médios das bases é perpendicular às bases e, nos triângulos retângulos formados, vale
l^2 = h^2 + \Bigl(\frac{b - a}{2}\Bigr)^2.

Passo 5

Substituindo l = \tfrac{a+b}{2} e h=2r na equação do passo anterior:
\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr)^{2} = (2r)^{2} + \Bigl(\frac{b-a}{2}\Bigr)^{2}.
Multiplicando por 4 e desenvolvendo,
(a+b)^{2} = 16r^{2} + (b-a)^{2} \;\Longrightarrow\; a^{2} + 2ab + b^{2} = 16r^{2} + b^{2} - 2ab + a^{2} \;\Longrightarrow\; 4ab = 16r^{2} \;\Longrightarrow\; ab = 4r^{2}.

Resposta

O produto das bases é
ab = (2r)^{2},
isto é, igual ao quadrado do diâmetro do círculo.

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