Prove que a altura de um trapézio retângulo que tem o ângulo agudo medindo 30^circ é igual à metade do lado não perpendicular às bases.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um trapézio retângulo cujas bases são paralelas e horizontais, um dos lados (à esquerda) é perpendicular a elas e o outro lado (à direita) forma um ângulo agudo de 30^circ com a base maior. A altura h do trapézio é a distância entre as bases (ou seja, o comprimento do segmento perpendicular a elas) e queremos mostrar que
h = 12,ell,
onde ell é o comprimento do lado não perpendicular (o lado oblíquo que faz 30^circ com a base).

Passo 2

Denotemos por B o vértice inferior direito do trapézio e por C o vértice superior correspondente, de modo que BC=ell é o lado oblíquo e o ângulo em B vale 30^circ. A seguir, projetamos C ortogonalmente sobre a base maior, obtendo o pé D. O segmento CD é exatamente a altura h, pois é perpendicular às bases.

Passo 3

No triângulo retângulo BCD temos:
  • o ângulo em B vale ang<= CBD=30^circ,
  • o cateto oposto a esse ângulo é CD = h,
  • a hipotenusa é BC = ell.
Pela definição de seno em triângulo retângulo,
sin(30^circ) ;=;cateto opostohipotenusa ;=;CDBC ;=;hell

Passo 4

Como sin(30^circ)=tfrac12, segue
hell = 12 Longrightarrow h = 12,ell

Resposta

h = 12,ell

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