Prove que a altura de um trapézio retângulo que tem o ângulo agudo medindo
é igual à metade do lado não perpendicular às bases.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um trapézio retângulo cujas bases são paralelas e horizontais, um dos lados (à esquerda) é perpendicular a elas e o outro lado (à direita) forma um ângulo agudo de
com a base maior. A altura
do trapézio é a distância entre as bases (ou seja, o comprimento do segmento perpendicular a elas) e queremos mostrar que
onde
é o comprimento do lado não perpendicular (o lado oblíquo que faz
com a base).
Passo 2
Denotemos por
o vértice inferior direito do trapézio e por
o vértice superior correspondente, de modo que
é o lado oblíquo e o ângulo em
vale
. A seguir, projetamos
ortogonalmente sobre a base maior, obtendo o pé
. O segmento
é exatamente a altura
, pois é perpendicular às bases.
Passo 3
No triângulo retângulo
temos:
- o ângulo em
vale , - o cateto oposto a esse ângulo é
, - a hipotenusa é
.
Pela definição de seno em triângulo retângulo,
Passo 4
Como
, segue