Num trapézio isósceles ABCD , a base menor AB é congruente aos lados não paralelos. Prove que as diagonais são bissetrizes dos ângulos widehatC e widehatD do trapézio.

Passo 1

Temos um trapézio ABCD com ABparal<=l CD e
AB = AD = BC
Queremos mostrar que a diagonal AC é bissetriz do ângulo em C (isto é, widehat BCD) e que a diagonal BD é bissetriz do ângulo em D (isto é, widehat ADC). Vamos usar propriedades de triângulos isósceles e ângulos formados por paralelas.

Passo 2

Na triang<= ABC, como AB = BC, ela é isósceles com base AC. Logo, os ângulos na base são iguais:
ang<= CAB = ang<= BCA

Passo 3

Como ABparal<=l CD, os ângulos
ang<= CAB e ang<= ACD são alternos internos. Portanto
ang<= CAB = ang<= ACD
Combinando com o passo anterior, obtemos
ang<= BCA = ang<= ACD
Essas são justamente as duas partes em que AC divide o ângulo widehat BCD. Logo, AC bissetriz de widehat C.

Passo 4

Na triang<= BAD, como AB = AD, ela é isósceles com base BD. Logo, os ângulos na base são iguais:
ang<= BDA = ang<= DBA

Passo 5

Como ABparal<=l CD, os ângulos
ang<= DBA e ang<= BDC são alternos internos. Portanto
ang<= DBA = ang<= BDC
Logo
ang<= BDA = ang<= BDC,
que são as duas partes em que BD divide o ângulo widehat ADC. Assim, BD é bissetriz de widehat D.

Resposta

As diagonais AC e BD são, respectivamente, as bissetrizes dos ângulos widehat C e widehat D do trapézio.

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