Prove que
\begin{aligned} & \left|\begin{array}{lll} \cos (a-b) & \cos (b-c) & \cos (c-a) \\ \cos (a+b) & \cos (b+c) & \cos (c+a) \\ \operatorname{sen}(a+b) & \operatorname{sen}(b+c) & \operatorname{sen}(c+a) \end{array}\right|= \\ & =\operatorname{sen}(c-a) \cdot \operatorname{sen}(c-b) \cdot \operatorname{sen}(a-b) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante
D=\begin{vmatrix} \cos(a-b) & \cos(b-c) & \cos(c-a)\\\ \cos(a+b) & \cos(b+c) & \cos(c+a)\\\ \operatorname{sen}(a+b) & \operatorname{sen}(b+c) & \operatorname{sen}(c+a) \end{vmatrix}
é igual a \operatorname{sen}(c-a)\,\operatorname{sen}(c-b)\,\operatorname{sen}(a-b). Vamos expandir D pela primeira linha e usar identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Expandindo D pela primeira linha, temos
D=\cos(a-b)\,M_{11} -\cos(b-c)\,M_{12} +\cos(c-a)\,M_{13},
onde
M_{11} =\begin{vmatrix} \cos(b+c)&\cos(c+a)\\\ \operatorname{sen}(b+c)&\operatorname{sen}(c+a) \end{vmatrix},\quad M_{12} =\begin{vmatrix} \cos(a+b)&\cos(c+a)\\\ \operatorname{sen}(a+b)&\operatorname{sen}(c+a) \end{vmatrix},\quad M_{13} =\begin{vmatrix} \cos(a+b)&\cos(b+c)\\\ \operatorname{sen}(a+b)&\operatorname{sen}(b+c) \end{vmatrix}.

Passo 3

Calculemos cada menor:
M_{11} =\cos(b+c)\,\operatorname{sen}(c+a)-\cos(c+a)\,\operatorname{sen}(b+c) =\operatorname{sen}\bigl((c+a)-(b+c)\bigr) =\operatorname{sen}(a-b),
M_{12} =\cos(a+b)\,\operatorname{sen}(c+a)-\cos(c+a)\,\operatorname{sen}(a+b) =\operatorname{sen}\bigl((c+a)-(a+b)\bigr) =\operatorname{sen}(c-b),
M_{13} =\cos(a+b)\,\operatorname{sen}(b+c)-\cos(b+c)\,\operatorname{sen}(a+b) =\operatorname{sen}\bigl((b+c)-(a+b)\bigr) =\operatorname{sen}(c-a).
Substituindo em D
D =\cos(a-b)\,\operatorname{sen}(a-b) -\cos(b-c)\,\operatorname{sen}(c-b) +\cos(c-a)\,\operatorname{sen}(c-a).

Passo 4

Note que \operatorname{sen}(c-b)=-\operatorname{sen}(b-c). Logo
-\cos(b-c)\,\operatorname{sen}(c-b) =\cos(b-c)\,\operatorname{sen}(b-c),
e então
D =\cos(a-b)\,\operatorname{sen}(a-b) +\cos(b-c)\,\operatorname{sen}(b-c) +\cos(c-a)\,\operatorname{sen}(c-a).
Agora use a identidade
\cos x\,\operatorname{sen} x=\tfrac12\,\operatorname{sen}(2x),
para obter
D =\tfrac12\bigl[\operatorname{sen}\bigl(2(a-b)\bigr) +\operatorname{sen}\bigl(2(b-c)\bigr) +\operatorname{sen}\bigl(2(c-a)\bigr)\bigr].

Passo 5

Como
2(a-b)+2(b-c)+2(c-a)=0,
vale a identidade
\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta+\operatorname{sen}\gamma =-4\,\operatorname{sen}\frac\alpha2\,\operatorname{sen}\frac\beta2\,\operatorname{sen}\frac\gamma2 \quad\text{quando }\alpha+\beta+\gamma=0.
Tomando \alpha=2(a-b), \beta=2(b-c), \gamma=2(c-a), temos
\operatorname{sen}\bigl(2(a-b)\bigr) +\operatorname{sen}\bigl(2(b-c)\bigr) +\operatorname{sen}\bigl(2(c-a)\bigr) =-4\,\operatorname{sen}(a-b)\,\operatorname{sen}(b-c)\,\operatorname{sen}(c-a).
Logo
D=\tfrac12\bigl[-4\,\operatorname{sen}(a-b)\,\operatorname{sen}(b-c)\,\operatorname{sen}(c-a)\bigr] =-2\,\operatorname{sen}(a-b)\,\operatorname{sen}(b-c)\,\operatorname{sen}(c-a).

Passo 6

Finalmente use \operatorname{sen}(b-c)=-\operatorname{sen}(c-b) e note que o produto de dois sinais negativos dá positivo:
\operatorname{sen}(a-b)\,\operatorname{sen}(b-c)\,\operatorname{sen}(c-a) =\bigl[\operatorname{sen}(a-b)\bigr]\bigl[-\operatorname{sen}(c-b)\bigr]\bigl[\operatorname{sen}(c-a)\bigr] =-\operatorname{sen}(a-b)\,\operatorname{sen}(c-b)\,\operatorname{sen}(c-a),
de onde
D =-2\bigl[-\operatorname{sen}(a-b)\,\operatorname{sen}(c-b)\,\operatorname{sen}(c-a)\bigr] =2\,\operatorname{sen}(a-b)\,\operatorname{sen}(c-b)\,\operatorname{sen}(c-a).

Resposta

O valor exato do determinante é
D=2\,\operatorname{sen}(a-b)\,\operatorname{sen}(c-b)\,\operatorname{sen}(c-a),
portanto a igualdade dada no enunciado está faltando o fator 2.
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