Em um trapézio são dadas as bases A B=20 cm e C D=12 cm. Considere os pontos P e Q médios das diagonais AC e BD e, depois, os pontos R e S médios dos lados BC e AD. Calcule a medida dos segmentos PR, RQ e RS.

Passo 1

O enunciado dá um trapézio ABCD com base maior AB=20 cm e base menor CD=12 cm. Os pontos P e Q são os pontos médios das diagonais AC e BD, e R e S são os pontos médios dos lados BC e AD. Queremos as medidas dos segmentos PR, RQ e RS. Para isso, vamos usar coordenadas, pois fica fácil ver que os comprimentos são constantes e dependem só do comprimento das bases.

Passo 2

Colocamos
A=(0,0), B=(20,0),
e como CDparal<=l AB e CD=12, escolhemos pontos
D=(d,h), C=(d+12,h),
onde d e h são quaisquer números que mantêm o trapézio genérico.

Passo 3

Aplicamos a fórmula do ponto médio:
P=médio(A,C)=l(tfrac0+(d+12)2,,tfrac0+h2r)=l(tfracd+122,;tfrach2r), é
Q=médio(B,D)=l(tfrac20+d2,,tfrac0+h2r)=l(tfracd+202,;tfrach2r), é
R=médio(B,C)=l(tfrac20+(d+12)2,,tfrac0+h2r)=l(tfracd+322,;tfrach2r), é
S=médio(A,D)=l(tfrac0+d2,,tfrac0+h2r)=l(tfracd2,;tfrach2r) é

Passo 4

Repare que todos têm a mesma ordenada y=tfrach2, ou seja, estão alinhados horizontalmente. Assim, cada comprimento é a diferença das abscissas:
PR = l|tfracd+322-tfracd+122r| = tfrac202=10 cm,
RQ = l|tfracd+202-tfracd+322r| = tfrac122=6 cm,
RS = l|tfracd+322-tfracd2r| = tfrac322=16 cm

Resposta

PR=10 cm, RQ=6 cm, RS=16 cm

Exercícios de Livros Relacionados