Prove que as bissetrizes dos ângulos obtusos de um paralelogramo são paralelas.
Passo 1
Resumindo o enunciado: seja um paralelogramo cujos vértices estão numerados no sentido horário. Em um paralelogramo, ângulos opostos são congruentes e ângulos consecutivos são suplementares, logo se é obtuso então também é obtuso. O objetivo é provar que as bissetrizes de e de são duas retas paralelas.
Passo 2
Seja o ponto de interseção das diagonais e . Note que é também o centro de simetria (rotação de ) do paralelogramo, pois em um paralelogramo os dois eixos diagonais se cortam no ponto médio de ambas. Denotemos por a rotação de em torno de .
Passo 3
A rotação de sobre tem as seguintes propriedades:
Como e , a rotação envia
– a reta em ,
– a reta em .
Passo 4
Considere a bissetriz interna de , que é a reta passando por e dividindo em dois ângulos iguais os vetores e AD. Como rotação de 180^circ leva vetor em vetor com mesma direção (mas sentido oposto), ela leva também a bissetriz ellA em uma reta ell' que passa por R(A)=C e bissetriz o ângulo formado por R(AB)=DC e R(AD)=BC. Mas esse ângulo é exatamente ang<= DCB, ou seja, ell' é a bissetriz interna de ang<= C. Logo
R(ellA)=ellC
Uma rotação de 180^circ em torno de um ponto é uma simetria central e tem a propriedade de enviar qualquer reta em uma reta paralela a ela. Como R leva ellA em ellC e preserva paralelismo, conclui-se que
ellC paral<=l ellA
Resposta
As bissetrizes dos ângulos obtusos de um paralelogramo são paralelas.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 267