Prove que as bissetrizes dos ângulos obtusos de um paralelogramo são paralelas.

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja ABCD um paralelogramo cujos vértices estão numerados no sentido horário. Em um paralelogramo, ângulos opostos são congruentes e ângulos consecutivos são suplementares, logo se ang<= A é obtuso então também ang<= C é obtuso. O objetivo é provar que as bissetrizes de ang<= A e de ang<= C são duas retas paralelas.

Passo 2

Seja O o ponto de interseção das diagonais AC e BD. Note que O é também o centro de simetria (rotação de 180^circ) do paralelogramo, pois em um paralelogramo os dois eixos diagonais se cortam no ponto médio de ambas. Denotemos por R a rotação de 180^circ em torno de O.

Passo 3

A rotação R de 180^circ sobre O tem as seguintes propriedades:
R(A)=C, R(B)=D, R(C)=A, R(D)=B
Como ABparal<=l DC e ADparal<=l BC, a rotação envia
– a reta AB em DC,
– a reta AD em BC.

Passo 4

Considere a bissetriz interna de ang<= A, que é a reta ellA passando por A e dividindo em dois ângulos iguais os vetores AB e AD. Como rotação de 180^circ leva vetor em vetor com mesma direção (mas sentido oposto), ela leva também a bissetriz ellA em uma reta ell' que passa por R(A)=C e bissetriz o ângulo formado por R(AB)=DC e R(AD)=BC. Mas esse ângulo é exatamente ang<= DCB, ou seja, ell' é a bissetriz interna de ang<= C. Logo
R(ellA)=ellC
Uma rotação de 180^circ em torno de um ponto é uma simetria central e tem a propriedade de enviar qualquer reta em uma reta paralela a ela. Como R leva ellA em ellC e preserva paralelismo, conclui-se que
ellC paral<=l ellA

Resposta

As bissetrizes dos ângulos obtusos de um paralelogramo são paralelas.

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