Prove que:
2 cdot 1binomn2+3 cdot 2binomn3+4 cdot 3binomn4+ldots+n cdot(n-1)binomnn=n cdot(n-1) cdot 2^n-2

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
2cdot1binomn2+3cdot2binomn3+4cdot3binomn4+cdots+ncdot(n-1)binomnn =n,(n-1),2^n-2
Isso envolve somatórios de termos da forma k(k-1)binomnk. Para resolver, vamos usar o Teorema do Binômio e derivadas para gerar fatores k e k-1.

Passo 2

Considere a função
f(x) = (1+x)^n
Pelo Teorema do Binômio,
f(x)=sumk=0^nbinomnkx^k
Ao derivar em x, surgem os fatores k:
f'(x)=sumk=1^nkbinomnkx^k-1 e f''(x)=sumk=2^nk(k-1)binomnkx^k-2

Passo 3

Por outro lado, derivando explicitamente f(x)=(1+x)^n temos
f'(x)=n,(1+x)^,n-1,
f''(x)=n,(n-1),(1+x)^,n-2

Passo 4

Multiplicamos a expressão de f''(x) por x^2 para alinhar os expoentes de x:
x^2,f''(x) =sumk=2^nk(k-1)binomnkx^k e x^2,f''(x)=n,(n-1),x^2,(1+x)^,n-2
Agora basta avaliar em x=1:
sumk=2^nk(k-1)binomnk =n,(n-1)cdot1^2cdot(1+1)^,n-2 =n,(n-1),2^n-2

Resposta

2cdot1binomn2+3cdot2binomn3+cdots+ncdot(n-1)binomnn =n,(n-1),2^n-2

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