Verifique que a transformação w=1 / z leva:
reta pela origem em reta pela origem;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformação
w=1z
faz com que toda reta que passa pela origem no plano z seja levada a uma reta que também passa pela origem no plano w. Para isso, vamos usar a representação em coordenadas polares de z.

Passo 2

Uma reta que passa pela origem pode ser descrita pela condição
arg z = alpha,,
onde alpha é um ângulo fixo. Equivalentemente, podemos escrever de forma paramétrica
z = t,e^ialpha,
com tinRsetminus0. Para cada valor de t, z está sobre a mesma reta de argumento alpha.

Passo 3

Aplicando a transformação w=1/z nessa parametrização, obtemos
w = 1t,e^ialpha = 1t,e^-,ialpha
Logo, para todo tneq0,
arg w = -alpha,
que é uma constante. Isso mostra que w varia ao longo da reta de argumento -alpha, que também passa pela origem.

Resposta

A reta arg z=alpha é levada pela transformação w=1/z na reta arg w=-alpha, ou seja, uma reta pela origem em outra reta pela origem.

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