Verifique que a transformação
leva:
reta pela origem em reta pela origem;
reta pela origem em reta pela origem;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformação
faz com que toda reta que passa pela origem no plano
seja levada a uma reta que também passa pela origem no plano
. Para isso, vamos usar a representação em coordenadas polares de
.
Passo 2
Uma reta que passa pela origem pode ser descrita pela condição
onde
é um ângulo fixo. Equivalentemente, podemos escrever de forma paramétrica
com
. Para cada valor de
,
está sobre a mesma reta de argumento
.
Passo 3
Aplicando a transformação
nessa parametrização, obtemos
Logo, para todo
,
que é uma constante. Isso mostra que
varia ao longo da reta de argumento
, que também passa pela origem.
Resposta
A reta
é levada pela transformação
na reta
, ou seja, uma reta pela origem em outra reta pela origem.