Verifique que a transformação
leva:
reta que não passa pela origem em círculo pela origem;
reta que não passa pela origem em círculo pela origem;
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre que, sob a transformação
, toda reta em
que não passa pela origem vira um círculo em
que passa pela origem. Para isso vamos:
- Escrever a reta genérica em
como
- Escrever
e encontrar e em função de . - Substituir na equação da reta e ver que a imagem é um círculo que contém
.
Passo 2
Como
, temos
Logo
Passo 3
Substituindo esses
e
em
dá
Multiplicando ambos os lados por
(que nunca é zero para
) obtemos
Passo 4
Reescrevendo
vemos a forma canônica de círculo. Para evidenciar, fazemos o “completar quadrado”:
Esse é um círculo de centro
e raio
. Note que
satisfaz a equação original
, ou seja, o círculo passa pela origem em
.
Resposta
A imagem da reta
(com
) sob
é o círculo
que passa por
.