Verifique que a transformação w=1 / z leva:
reta que não passa pela origem em círculo pela origem;

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que, sob a transformação w = 1/z, toda reta em z que não passa pela origem vira um círculo em w que passa pela origem. Para isso vamos:
  1. Escrever a reta genérica em z=x+iy como
a x + b y + c = 0, cneq 0
  1. Escrever w = u+iv = 1/z e encontrar x e y em função de u,v.
  2. Substituir na equação da reta e ver que a imagem é um círculo que contém (u,v)=(0,0).

Passo 2

Como w=1/z, temos
z = x + i y = 1u+iv = u - i vu^2+v^2
Logo
x = uu^2+v^2, y = -,vu^2+v^2

Passo 3

Substituindo esses x e y em a x + b y + c = 0
auu^2+v^2 ;+; bl(-vu^2+v^2r);+;c ;=;0
Multiplicando ambos os lados por u^2+v^2 (que nunca é zero para wneq0) obtemos
a,u ;-; b,v ;+; c,(u^2+v^2) ;=; 0

Passo 4

Reescrevendo
c(u^2+v^2) ;+; a,u ;-; b,v ;=; 0
vemos a forma canônica de círculo. Para evidenciar, fazemos o “completar quadrado”:
u^2 + ac,u + v^2 - bc,v = 0 ;Longrightarrow; l(u + tfraca2cr)^2 + l(v - tfracb2cr)^2 = a^2+b^24c^2
Esse é um círculo de centro l(-tfraca2c,,tfracb2cr) e raio tfracraiza^2+b^22|c|. Note que (u,v)=(0,0) satisfaz a equação original c(u^2+v^2)+a u - b v=0, ou seja, o círculo passa pela origem em w.

Resposta

A imagem da reta a x + b y + c = 0 (com cneq0) sob w=1/z é o círculo
c,(u^2+v^2) + a,u - b,v = 0,
que passa por (u,v)=(0,0).

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