Prove que a transformação leva círculos em círculos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformação
leva qualquer círculo do plano complexo em outro círculo. Vamos usar a forma padrão da equação de um círculo e a propriedade de módulos em .
Passo 2
Lembrando que um círculo de centro e raio é o conjunto
Aqui e são dados.
Passo 3
Se , então para qualquer ponto na imagem podemos escrever
Substituímos isso na condição do círculo original .
Passo 4
Fazendo a substituição obtemos
Agora usamos a propriedade para escrever
Passo 5
A última igualdade é a equação de um círculo de centro a,z0 e raio lvert arvert,R. Concluímos, pois, que a imagem de qualquer círculo sob w=a,z é outro círculo.
Resposta
Sob a transformação w = a,z, o círculo lvert z - z0rvert = R passa no círculo
lvert w - a,z0rvert = lvert arvert,R
Cálculo - Geraldo Ávila - Variáveis Complexas e Aplicações - 3ª Edição - Capítulo 7.A transformação de Möbius - Ex. 2