Prove que a transformação w=a z leva círculos em círculos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformação
w = a,z
leva qualquer círculo do plano complexo em outro círculo. Vamos usar a forma padrão da equação de um círculo e a propriedade de módulos em C.

Passo 2

Lembrando que um círculo de centro z0 e raio R é o conjunto
,zinCmid lvert z - z0rvert = R
Aqui z0 e R>0 são dados.

Passo 3

Se w = a,z, então para qualquer ponto w na imagem podemos escrever
z = wa
Substituímos isso na condição do círculo original lvert z - z0rvert = R.

Passo 4

Fazendo a substituição obtemos
Agora usamos a propriedade para escrever

Passo 5

A última igualdade é a equação de um círculo de centro a,z0 e raio lvert arvert,R. Concluímos, pois, que a imagem de qualquer círculo sob w=a,z é outro círculo.

Resposta

Sob a transformação w = a,z, o círculo lvert z - z0rvert = R passa no círculo
lvert w - a,z0rvert = lvert arvert,R

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