Prove que, se (a, b, c) é uma P.A., então (a^2(b+c), b^2(a+c), c^2(a+b)) também é.

Passo 1

O enunciado diz que (a,b,c) é P.A., ou seja,
b - a = c - b
ou equivalentemente
2b = a + c
Queremos mostrar que o triplo
l(a^2(b+c),;b^2(a+c),;c^2(a+b)r)
também é P.A., isto é, que a diferença entre segundo e primeiro termo coincide com a diferença entre terceiro e segundo termo.

Passo 2

Para o triplo ser P.A. precisamos ter
b^2(a+c) - a^2(b+c) ;=; c^2(a+b) - b^2(a+c),
o que é equivalente a
2,b^2(a+c) ;=; a^2(b+c) ;+; c^2(a+b)
Agora basta verificar essa igualdade usando 2b = a+c.

Passo 3

Calculemos a soma do primeiro com o terceiro termo do membro direito:
a^2(b+c) + c^2(a+b) = a^2b + a^2c + c^2a + b,c^2 = b,(a^2+c^2) ;+; a,c,(a+c)

Passo 4

Como a+c = 2b, temos
b,(a^2+c^2) + a,c,(a+c) = bl((a+c)^2-2acr) + ac,(a+c) = b,(2b)^2 - 2abc + ac,(2b) = 4b^3 - 2abc + 2abc = 4b^3
Por outro lado,
2,b^2(a+c) = 2,b^2,(2b) = 4b^3
Logo
a^2(b+c) + c^2(a+b) = 2,b^2(a+c),
e a condição de P.A. fica satisfeita.

Resposta

O triplo l(a^2(b+c),,b^2(a+c),,c^2(a+b)r) é P.A. porque verificamos
2,b^2(a+c) = a^2(b+c) + c^2(a+b)

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