Prove as identidades abaixo.
[sen(x)+cos (x)]^2sen(x) cos (x)=tan (x)+cot (x)+2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(sin x + cos x)^2sin xcos x ;=;tan x + cot x + 2
O conteúdo envolve identidades trigonométricas básicas: expansão de quadrado, e as definições tan x = sin xcos x e cot x = cos xsin x.

Passo 2

Começamos expandindo o quadrado do numerador:
(sin x + cos x)^2 = sin^2 x ;+;2,sin xcos x;+;cos^2 x

Passo 3

Substituímos essa expressão sobre o denominador sin xcos x e separamos em três frações:
sin^2 x + 2sin xcos x + cos^2 xsin xcos x = sin^2 xsin xcos x + 2sin xcos xsin xcos x + cos^2 xsin xcos x

Passo 4

Agora simplificamos termo a termo:
sin^2 xsin xcos x = sin xcos x = tan x, 2sin xcos xsin xcos x = 2, cos^2 xsin xcos x = cos xsin x = cot x

Passo 5

Somando essas três parcelas, obtemos
tan x + 2 + cot x,
que coincide exatamente com o lado direito da identidade.

Resposta

A identidade está provada:
(sin x + cos x)^2sin xcos x ;=;tan x + cot x + 2

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