Resolva as equações a seguir, supondo que 0 <= x <= pi2.
8 cos ^2(x)-4 cos ^2(x2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
8cos^2(x)-4cos^2l(tfracx2r)=1
no intervalo 0<= x<=pi2.
Vamos usar identidades trigonométricas, em particular a fórmula do cosseno de ângulo metade, para reduzir a equação a um polinômio em cos x.

Passo 2

Usamos a identidade do cosseno de ângulo metade
cos^2l(tfracx2r)=1+cos x2
e substituímos na equação original:
8cos^2(x)-4cdot1+cos x2=1

Passo 3

Simplificamos a expressão:
8cos^2(x)-2l(1+cos xr)=1 Longrightarrow 8cos^2(x)-2-2cos x-1=0 Longrightarrow 8cos^2(x)-2cos x-3=0

Passo 4

Fazemos a troca u=cos x. A equação fica
8u^2-2u-3=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
u=2pmraiz(-2)^2-4cdot8cdot(-3)2cdot8 =2pmraiz4+9616 =2pm1016,
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u=1216=34 ou u=-816=-tfrac12

Passo 5

Como cos x no intervalo 0<= x<=pi2 varia entre 0 e 1, descartamos u=-tfrac12. Resta
cos x=tfrac34.

Passo 6

A solução no intervalo dado é
x=arccos!l(tfrac34r)

Resposta

x=arccos!l(tfrac34r)

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