Resolva as equações abaixo, supondo que 0 <= x <= pi2.
5 sen(x)+4 cos (x-pi6)=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
5sen(x) + 4cosl(x - pi6r) = 6
no domínio 0 <= x <= pi2. Vamos usar a identidade de ângulo composto para cos(x-tfracpi6) e depois agrupar em uma única combinação linear de sen x e cos x.

Passo 2

Aplicamos
cosl(x - pi6r) = cos x,cospi6 + sen x,senpi6 = cos xcdotraiz32 + sen xcdot12
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4cosl(x - tfracpi6r) = 4l(raiz32cos x + 12sen xr) = 2raiz3cos x + 2sen x

Passo 3

Substituindo na equação original, obtemos
5sen x + l(2raiz3cos x + 2sen xr) = 6 Longrightarrow 7sen x + 2raiz3cos x = 6

Passo 4

Para resolver 7sen x + 2raiz3cos x = 6, usamos a forma
Asen x + Bcos x = Rsen(x+alpha),
onde
R = raizA^2 + B^2 = raiz7^2 + l(2raiz3r)^2 = raiz49 + 12 = raiz61,
e escolhemos alpha tal que
Rcosalpha = A = 7, Rsinalpha = B = 2raiz3 Longrightarrow alpha = arctan!l(tfrac2raiz37r)
Assim a equação vira
raiz61,senl(x + alphar) = 6

Passo 5

Dividindo, fica
senl(x + alphar) = 6raiz61
Como tfrac6raiz61<1, existem duas soluções gerais para x+alpha:
x + alpha = arcsin!l(6raiz61r) ou x + alpha = pi - arcsin!l(6raiz61r)

Passo 6

Voltando a x e lembrando que 0<= x<= tfracpi2:
  1. Para
x = arcsin!l(tfrac6raiz61r) - alpha,
temos
arcsin(6/raiz61)approx0,876 e
alphaapproxarctan(2raiz3/7)approx0,459,
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xapprox0,876 - 0,459 = 0,417 rad (approx23,9^circ),
que está em [0,tfracpi2].
  1. Para
x = pi - arcsin!l(tfrac6raiz61r) - alpha approx3,142 - 0,876 - 0,459 = 1,807 rad,
que é maior que tfracpi2 e portanto fora do domínio.

Resposta

x = arcsin!l(6raiz61r) ;-;arctan!l(tfrac2raiz37r) approx0,417 rad

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