Sejam A e B subconjuntos de IR com a seguinte propriedade: sup
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são subconjuntos de
tais que
Queremos mostrar que não existe elemento comum a
e
, isto é, que
Para isso vamos usar a definição de supremo e ínfimo e um argumento por contradição.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que existe
. Então:
- Como
e é o menor limite superior de , temos
- Como
e é o maior limite inferior de , temos
- Mas do enunciado temos
.
Passo 3
Juntando as três desigualdades obtemos
o que é impossível.
Resposta
Logo não existe
em
e, portanto,