Sejam A e B subconjuntos de IR com a seguinte propriedade: sup A<infB. Prove que A cap B=varnothing.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são subconjuntos de R tais que
sup A < inf B
Queremos mostrar que não existe elemento comum a A e B, isto é, que
Acap B = varnothing
Para isso vamos usar a definição de supremo e ínfimo e um argumento por contradição.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que existe xin Acap B. Então:
  1. Como xin A e sup A é o menor limite superior de A, temos
x <= sup A
  1. Como xin B e inf B é o maior limite inferior de B, temos
inf B <= x
  1. Mas do enunciado temos sup A < inf B.

Passo 3

Juntando as três desigualdades obtemos
x <= sup A < inf B <= x Longrightarrow x < x,
o que é impossível.

Resposta

Logo não existe x em Acap B e, portanto,
Acap B = varnothing

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