Ex. 8.40 - Prove por indução que para todo
, se
então
.
Passo 1
Vamos provar por indução em
que
se
se
então
O que precisamos: a definição de limite que vai a infinito e o princípio de indução.
Passo 2
(Caso base
)
Para a afirmação é exatamente a hipótese. De fato,
Para
é equivalente a
Logo, o caso base está satisfeito.
Passo 3
(Hipótese de indução)
Suponha que, para algum , valha
Suponha que, para algum
Queremos mostrar que
Passo 4
(Passo de indução)
Se , então existe
tal que para todo
temos
Se
Pela hipótese de indução, dado
existe
tal que, para todo
,
Escolhendo
, para
obtemos
Isso mostra que, para todo
, existe
com
. Ou seja,
Resposta
Portanto, por indução, para todo
vale