Ex. 8.40 - Prove por indução que para todo k in N^*, se lim n infty an=infty então lim n infty(an)^k= infty.

Passo 1

Vamos provar por indução em kinN^* que
se
limntoinftyan=infty
então
limntoinftyl(anr)^k=infty
O que precisamos: a definição de limite que vai a infinito e o princípio de indução.

Passo 2

(Caso base k=1)
Para k=1 a afirmação é exatamente a hipótese. De fato,
limntoinftyan=infty
é equivalente a
limntoinftyl(anr)^1=infty
Logo, o caso base está satisfeito.

Passo 3

(Hipótese de indução)
Suponha que, para algum k>=1, valha
limntoinftyl(anr)^k=infty
Queremos mostrar que
limntoinftyl(anr)^k+1=infty

Passo 4

(Passo de indução)
Se limntoinftyan=infty, então existe N1 tal que para todo n>N1 temos
an>1
Pela hipótese de indução, dado M>0 existe N2 tal que, para todo n>N2,
l(anr)^k>M
Escolhendo N=maxN1,N2, para n>N obtemos
l(anr)^k+1 =l(anr)^kcdot an > l(anr)^k > M
Isso mostra que, para todo M>0, existe N com n>Nimplies (an)^k+1>M. Ou seja,
limntoinftyl(anr)^k+1=infty

Resposta

Portanto, por indução, para todo kinN^* vale
limntoinftyan=infty Longrightarrow limntoinftyl(anr)^k=infty

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