Prove que, se ( a1, a2, a3, ldots, an ) é P.A., com n>2, então (a2^2-a1^2, a3^2-a2^2, a4^2-a3^2, ldots, an^2-an^2-1) também é.

Passo 1

O enunciado diz que (a1,a2,dots,an) é P.A. com n>2 e pede para provar que
l(a2^2-a1^2,,a3^2-a2^2,,dots,,an^2-an-1^2r)
também é P.A. Vamos usar a forma do termo geral de P.A. e manipular diferenças de quadrados.

Passo 2

Seja d = a2-a1. Como (ak) é P.A., o termo geral é
ak = a1 + (k-1),d, k=1,2,dots,n

Passo 3

Defina uma nova sequência (bk) por
bk = ak+1^2 - ak^2, k=1,2,dots,n-1
Substituindo o termo geral de ak, temos
bk = l(a1+k,dr)^2 - l(a1+(k-1)dr)^2

Passo 4

Expandindo e simplificando:
bk &= l(a1^2 + 2a1k,d + k^2d^2r) - l(a1^2 + 2a1(k-1)d + (k-1)^2d^2r) &= 2a1d + l(k^2-(k-1)^2r)d^2 = 2a1d + (2k-1),d^2

Passo 5

Para verificar que (bk) é P.A., calcule a diferença entre termos consecutivos:
bk+1-bk &= l[2a1d + (2(k+1)-1)d^2r] - l[2a1d + (2k-1)d^2r] &= 2d^2,
que é constante e independe de k. Portanto (bk) é uma P.A. de razão 2d^2.

Resposta

A sequência
l(a2^2-a1^2,,a3^2-a2^2,,dots,,an^2-an-1^2r)
é P.A. de razão 2,(a2-a1)^2.

Exercícios de Livros Relacionados