Uma sequência é tal que:
I) os termos de ordem par são ordenadamente as potências de 2 cujo expoente é igual ao índice do termo, isto é, a2 n=2^2 n para todo n >= 1.
II) os termos de ordem ímpar são ordenadamente as potências de -3 cujo expoente é igual ao índice do termo, isto é, a2 n-1=(-3)^2 n-1 para todo n >= 1. Calcule o produto dos 55 termos iniciais dessa sequência.

Passo 1

O enunciado define a sequência (ak) com
  • a2n=2^2n para todo n>=1,
  • a2n-1=(-3)^2n-1 para todo n>=1,
    e pede o produto dos primeiros 55 termos. Vamos separar esse produto em dois fatores: um contendo todos os termos de índice par e outro contendo todos os termos de índice ímpar, e usar a soma de séries aritméticas para somar os expoentes.

Passo 2

Escrevemos
P=prodk=1^55ak =l(prodn=1^27a2nr)timesl(prodn=1^28a2n-1r),
pois há 27 termos pares (até k=54) e 28 termos ímpares (até k=55).

Passo 3

Para os termos pares:
prodn=1^27a2n =prodn=1^272^2n =2^sumn=1^272n =2^2sumn=1^27n =2^2cdot27cdot282 =2^756

Passo 4

Para os termos ímpares:
prodn=1^28a2n-1 =prodn=1^28(-3)^2n-1 =(-3)^sumn=1^28(2n-1) =(-3)^28^2 =(-3)^784 =3^784,
já que o expoente é par e elimina o sinal negativo.

Passo 5

Multiplicando os dois resultados:
P =2^756times3^784

Resposta

2^756times3^784

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