Quais das seguintes sucessões complexas convergem?
(1+i)^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência complexa
(1+i)^nn=1^infty.
O conteúdo aqui é análise de convergência de sequências complexas usando o módulo: lembramos que uma sequência zn converge se e somente se |zn| fica limitada e tende a um valor finito.

Passo 2

Escrevemos o termo geral em forma polar. Primeiro, o número 1+i tem módulo e argumento dados por
|1+i| = raiz1^2+1^2 = raiz2,
arg(1+i) = pi4
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1+i = raiz2,e^ipi/4

Passo 3

Elevando à potência n, obtemos
(1+i)^n = l(raiz2,e^ipi/4r)^n = (raiz2)^n ,e^i npi/4
Dessa forma, o módulo de (1+i)^n é
l|(1+i)^nr| = l|(raiz2)^nr|cdot l|e^i npi/4r| = (raiz2)^n

Passo 4

Como raiz2>1, temos (raiz2)^ntoinfty quando ntoinfty. Assim o módulo de (1+i)^n explode, tornando a sequência não limitada e, portanto, divergente.

Resposta

A sequência (1+i)^n diverge (não converge), pois l|(1+i)^nr|=(raiz2)^ntoinfty.

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