Quais das seguintes sucessões complexas convergem?
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da sequência complexa .
O conteúdo aqui é análise de convergência de sequências complexas usando o módulo: lembramos que uma sequência converge se e somente se fica limitada e tende a um valor finito.
Passo 2
Escrevemos o termo geral em forma polar. Primeiro, o número tem módulo e argumento dados por
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Passo 3
Elevando à potência , obtemos
Dessa forma, o módulo de é
Passo 4
Como raiz2>1, temos (raiz2)^ntoinfty quando ntoinfty. Assim o módulo de (1+i)^n explode, tornando a sequência não limitada e, portanto, divergente.
Resposta
A sequência (1+i)^n diverge (não converge), pois l|(1+i)^nr|=(raiz2)^ntoinfty.
Cálculo - Wilfred Kaplan - Calculo Avancado - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 8.8.3 - Ex. 6.e