Prove que são irracionais os números raiz3, raiz5 e raiz7.
Resoluçäo: Suponhamos que se pudesse ter raiz3=rs(r, s in N; s neq 0 ). Então r^2=3 s^2. Mas nesta igualdade o expoente de 3 no primeiro membro é par ( >= 0 ) e no segundo é ímpar ( >= 1 ), o que contraria o teorema fundamental da aritmética (unicidade).

Passo 1

O enunciado pede para provar que raiz3, raiz5 e raiz7 são números irracionais. O conteúdo que vamos usar é o Teorema Fundamental da Aritmética (unicidade da fatoração em primos) e o fato de que, se um primo p aparece na fatoração de um quadrado, seu expoente é par.

Passo 2

Prova para raiz3: suponha, por contradição, que exista uma fração irreduzível dfracrs com r,sinN e gcd(r,s)=1 tal que
raiz3 = rs
Elevando ao quadrado, obtém-se
r^2 = 3,s^2
Na fatoração em primos de r^2, o expoente de 3 é par (pois é 2 vezes o expoente de 3 em r), enquanto na fatoração de 3,s^2 o expoente de 3 é ímpar (é 1 — vindo do fator 3 — mais um número par). Isso contradiz a unicidade da fatoração, logo raiz3 é irracional.

Passo 3

Prova para raiz5: suponha que raiz5 = tfracrs com gcd(r,s)=1. Então
r^2 = 5,s^2
Pela mesma razão de antes, o expoente de 5 em r^2 é par, mas em 5,s^2 é ímpar, violando a unicidade da fatoração. Logo raiz5 é irracional.

Passo 4

Prova para raiz7: suponha que raiz7 = tfracrs com gcd(r,s)=1. Então
r^2 = 7,s^2
O expoente de 7 em r^2 é par e em 7,s^2 é ímpar, o que contradiz a unicidade da fatoração. Portanto raiz7 é irracional.

Resposta

raiz3, raiz5 e raiz7 são números irracionais.

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