Prove que são irracionais os números
e
.
Resoluçäo: Suponhamos que se pudesse ter
;
). Então
. Mas nesta igualdade o expoente de 3 no primeiro membro é par (
) e no segundo é ímpar (
), o que contraria o teorema fundamental da aritmética (unicidade).
Passo 1
O enunciado pede para provar que
,
e
são números irracionais. O conteúdo que vamos usar é o Teorema Fundamental da Aritmética (unicidade da fatoração em primos) e o fato de que, se um primo
aparece na fatoração de um quadrado, seu expoente é par.
Passo 2
Prova para
: suponha, por contradição, que exista uma fração irreduzível
com
e
tal que
Elevando ao quadrado, obtém-se
Na fatoração em primos de
, o expoente de
é par (pois é
vezes o expoente de
em
), enquanto na fatoração de
o expoente de
é ímpar (é
— vindo do fator
— mais um número par). Isso contradiz a unicidade da fatoração, logo
é irracional.
Passo 3
Prova para
: suponha que
com
. Então
Pela mesma razão de antes, o expoente de
em
é par, mas em
é ímpar, violando a unicidade da fatoração. Logo
é irracional.
Passo 4
Prova para
: suponha que
com
. Então
O expoente de
em
é par e em
é ímpar, o que contradiz a unicidade da fatoração. Portanto
é irracional.