Ex. 8.21 - Prove que as seguintes sequências divergem:
b) n^2-2

Passo 1

O enunciado pede para provar que a sequência
an = n^2 - 2
diverge. O conteúdo é o estudo de divergência de sequência para +infty, usando a definição de limite infinito de sequência.

Passo 2

Recordando a definição: dizemos que (an) diverge para +infty se, para todo M>0, existe NinN tal que, para todo n>= N,
an > M

Passo 3

Queremos então, dado M>0, garantir
n^2 - 2 > M
Somando 2 em ambos os lados, isso equivale a
n^2 > M + 2
e, portanto,
n > raizM + 2

Passo 4

Escolha um índice
N = llceil raizM + 2rrceil
Então, para todo n>= N, temos n>= raizM+2 e, ao elevar ao quadrado,
n^2 >= M + 2 Longrightarrow n^2 - 2 >= M

Passo 5

Como para todo M>0 encontramos N tal que n>= N implica an = n^2-2 >= M, concluímos que
an to +infty
e, portanto, a sequência diverge.

Resposta

A sequência n^2 - 2 diverge para +infty.

Exercícios de Livros Relacionados