Ex. 8.21 - Prove que as seguintes sequências divergem:
g) raizn (Dica: eleve ao quadrado)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência raizn não converge a número finito, ou seja, diverge para +infty. O conteúdo envolvido é prova de divergência de sequência por crescimento sem limite superior.

Passo 2

Lembramos a definição de divergência para +infty: dizer que raiznto+infty significa que, dado qualquer número real M>0, existe NinN tal que, para todo n>= N, vale
raizn>M

Passo 3

Para resolver a desigualdade raizn>M com M>0, elevamos ambos os lados ao quadrado. Como raizn e M são não negativos, isso preserva a desigualdade:
raizn>M Long<=ftrightarrow n>M^2

Passo 4

Para garantir n>M^2 sempre que n>= N, basta escolher
N=lfloor M^2rfloor+1
Com essa escolha, para todo n>= N temos
n>= N=lfloor M^2rfloor+1 > M^2 Longrightarrow raizn>M
Isso mostra, pela definição, que raiznto+infty.

Resposta

A sequência raizn diverge para +infty.

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