Prove que os termos de uma P.A. qualquer em que 0 não participa verificam a relação:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, numa progressão aritmética cujos termos
são todos não nulos, vale a identidade
O conteúdo aqui é soma telescópica, usando a diferença de recíprocos em função da razão comum
.
Passo 2
Seja
a razão da P.A. Então, para todo
,
Logo podemos observar a diferença de recíprocos:
Passo 3
Desse modo cada termo da soma pode ser escrito como
Passo 4
Somando de
até
temos
A soma interna é telescópica, pois todos os termos intermediários cancelam, sobrando
Passo 5
Logo
Mas
, então
. Substituindo,