Prove que os termos de uma P.A. qualquer em que 0 não participa verificam a relação:
1a1 a2+1a2 a3+1a3 a4+ldots+1an-1 an=n-1a1 an

Passo 1

O enunciado pede para provar que, numa progressão aritmética cujos termos akk=1^n são todos não nulos, vale a identidade
1a1a2 + 1a2a3 + cdots + 1an-1an = n-1a1an
O conteúdo aqui é soma telescópica, usando a diferença de recíprocos em função da razão comum d.

Passo 2

Seja d a razão da P.A. Então, para todo k,
ak+1 - ak = d
Logo podemos observar a diferença de recíprocos:
1ak - 1ak+1 = ak+1 - akak ak+1 = dak ak+1

Passo 3

Desse modo cada termo da soma pode ser escrito como
1ak ak+1 = 1d,l(1ak - 1ak+1r)

Passo 4

Somando de k=1 até k=n-1 temos
sumk=1^n-11ak ak+1 = 1dsumk=1^n-1l(1ak - 1ak+1r)
A soma interna é telescópica, pois todos os termos intermediários cancelam, sobrando
sumk=1^n-1l(1ak - 1ak+1r) = 1a1 - 1an

Passo 5

Logo
sumk=1^n-11ak ak+1 = 1d,l(1a1 - 1anr) = 1d,an - a1a1,an
Mas an = a1 + (n-1)d, então an - a1 = (n-1)d. Substituindo,
1d,(n-1)da1,an = n-1a1,an

Resposta

1a1a2 + 1a2a3 + cdots + 1an-1an = n-1a1an

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