Prove que:
em todo sisterna de numeração de base
número
é um quadrado perfeito;
em todo sisterna de numeração de base
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, em qualquer sistema de base
, o numeral
representa um quadrado perfeito. Para isso vamos usar dois conceitos básicos:
- Conversão de um numeral posicional para valor decimal.
- Fatoração de um polinômio quadrático.
Passo 2
Convertemos
para valor em base decimal somando cada dígito vezes a potência correspondente de
:
Passo 3
Observe que o polinômio obtido é
que se reconhece imediatamente como um quadrado perfeito, pois
Resposta
Portanto
e como
implica
inteiro, concluímos que
é sempre um quadrado perfeito.