Prove que:
em todo sisterna de numeração de base b>20 número (121)b é um quadrado perfeito;

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, em qualquer sistema de base b>20, o numeral (121)b representa um quadrado perfeito. Para isso vamos usar dois conceitos básicos:
  1. Conversão de um numeral posicional para valor decimal.
  2. Fatoração de um polinômio quadrático.

Passo 2

Convertemos (121)b para valor em base decimal somando cada dígito vezes a potência correspondente de b:
(121)b = 1cdot b^2 ;+;2cdot b;+;1

Passo 3

Observe que o polinômio obtido é
b^2 + 2b + 1,
que se reconhece imediatamente como um quadrado perfeito, pois
b^2 + 2b + 1 = (b+1)^2

Resposta

Portanto
(121)b = (b+1)^2,
e como b>20 implica b+1 inteiro, concluímos que (121)b é sempre um quadrado perfeito.

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