Prove que o volume de um tetraedro é igual à terça parte do produto de uma aresta pela área do triângulo, projeção do sólido sobre um plano perpendicular a essa aresta.
Passo 1
Vamos trabalhar com um tetraedro de vértices . O objetivo é mostrar que, se projetarmos os vértices e num plano perpendicular à aresta , o volume do tetraedro vale
O conteúdo principal é a expressão do volume via produto escalar misto (determinante de três vetores) e a observação de que, por perpendicularidade, só a projeção de C-A e D-A conta no produto misto com B-A.
Passo 2
Escolhemos o vetor
e = AB = B - A
Definimos C' e D' as projeções ortogonais de C e D no plano P perpendicular a e. Logo
C' = C - A - (C - A)cdot e|e|^2,e, D' = D - A - (D - A)cdot e|e|^2,e
Sabendo que a área do triângulo com vetores C' e D' é
área = tfrac12,l|C'times D'r|, á
obtemos
V =16,l|ABr|;l|C'times D'r| =16,l|ABr|;(2timesárea) =13,l|ABr|timesárea do triângulo projetado ááâ
Resposta
boxedV = 13,l|ABr|timesl(área do triângulo que é a projeção do tetraedro no plano perpendicular a ABr) áâéçã
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 476