Prove que o volume de um tetraedro é igual à terça parte do produto de uma aresta pela área do triângulo, projeção do sólido sobre um plano perpendicular a essa aresta.

Passo 1

Vamos trabalhar com um tetraedro de vértices A,B,C,D. O objetivo é mostrar que, se projetarmos os vértices C e D num plano P perpendicular à aresta AB, o volume do tetraedro vale
V ;=;tfrac13,l|ABr|;times;l(área do triângulo proj de C,D em Pr) áâ
O conteúdo principal é a expressão do volume via produto escalar misto (determinante de três vetores) e a observação de que, por perpendicularidade, só a projeção de C-A e D-A conta no produto misto com B-A.

Passo 2

Escolhemos o vetor
e = AB = B - A
Definimos C' e D' as projeções ortogonais de C e D no plano P perpendicular a e. Logo
C' = C - A - (C - A)cdot e|e|^2,e, D' = D - A - (D - A)cdot e|e|^2,e

Passo 3

Recordando que o volume do tetraedro é dado por
V = 16,l|detl(e,,C - A,,D - Ar)r| =16,l|ecdotl((C - A)times(D - A)r)r|

Passo 4

Como e é perpendicular ao plano P, somente as componentes de C-A e D-A dentro de P contribuem no produto misto. Em outras palavras,
ecdotl((C - A)times(D - A)r) =ecdotl(C'times D'r)
Mas então, como e é ortogonal a C'times D' e |e|=l|ABr|, segue
l|ecdot(C'times D')r| =|e|;l|C'times D'r| =l|ABr|;l|C'times D'r|

Passo 5

Sabendo que a área do triângulo com vetores C' e D' é
área = tfrac12,l|C'times D'r|, á
obtemos
V =16,l|ABr|;l|C'times D'r| =16,l|ABr|;(2timesárea) =13,l|ABr|timesárea do triângulo projetado ááâ

Resposta

boxedV = 13,l|ABr|timesl(área do triângulo que é a projeção do tetraedro no plano perpendicular a ABr) áâéçã

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