Seja um triedro de vértice S, cujos ângulos das faces medem 60^circ. Tomamos SA=a e pelo ponto A traçamos um plano perpendicular a SA , que corta as outras arestas em B e C. Calcule as arestas do tetraedro SABC, sua área total e seu volume.

Passo 1

O enunciado descreve um triedro de vértice S cujos ângulos entre as arestas SA, SB e SC valem todos 60^circ. Dado que SA=a, traçamos em A o plano perpendicular a SA. Esse plano intercepta as geratrizes SB e SC nos pontos B e C, respectivamente. Queremos então determinar as arestas do tetraedro SABC, sua área total e seu volume. Vamos usar coordenadas no espaço para achar as distâncias e depois aplicar fórmulas de área e de volume de tetraedro.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas tal que
S=(0,0,0), A=(a,0,0),
e as direções unitárias das arestas satisfaçam
d1=dfracSA|SA|=(1,0,0),[6pt] d2cdot d1=cos 60^circ, d3cdot d1=cos 60^circ, d2cdot d3=cos 60^circ
Tomando
d2=l(tfrac12,tfracraiz32,0r), d3=l(tfrac12,tfracraiz36,tfracraiz63r),
a reta SB é t,d2 e a reta SC é u,d3. O plano x=a (perpendicular a SA) impõe
para B:;tcdot tfrac12=a;Rightarrow;t=2a, para C:;ucdot tfrac12=a;Rightarrow;u=2a
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SB=|SB|=2a, SC=|SC|=2a
]

Passo 3

As coordenadas ficam
A=(a,0,0), B=(2a,d2)=(a,araiz3,0), C=(2a,d3)=l(a,tfracaraiz33,tfrac2araiz63r)
Distâncias do triângulo ABC:
AB=raiz(0)^2+(araiz3)^2+0^2=araiz3, AC=raizl(tfracaraiz33r)^2+l(tfrac2araiz63r)^2 =araiz3,
BC=raizl(araiz3-tfracaraiz33r)^2+l(0-tfrac2araiz63r)^2 =2a

Passo 4

Áreas das faces que têm S:
Área(SAB)=tfrac12,(SA)(SB)sin60^circ =tfrac12cdot acdot2acdottfracraiz32 =tfraca^2raiz32, Á
Área(SAC)=tfrac12cdot acdot2acdottfracraiz32 =tfraca^2raiz32, Á
Área(SBC)=tfrac12,(SB)(SC)sin60^circ =tfrac12cdot2acdot2acdottfracraiz32 =a^2raiz3 Á

Passo 5

Área da base ABC, que é isósceles de lados iguais araiz3 e base 2a:
h=raiz(araiz3)^2-(a)^2=raiz3a^2-a^2=araiz2, Área(ABC)=tfrac12,(2a),(araiz2)=a^2raiz2 Á

Passo 6

Somando as quatro faces, a área total é
Arm total =tfraca^2raiz32+tfraca^2raiz32+a^2raiz3+a^2raiz2 =2a^2raiz3+a^2raiz2

Passo 7

O volume do tetraedro é
V=16,l|,det[,SA,,SB,,SC,]r| =16,a,(2a),(2a), raiz1+2cos^3 60^circ-3cos^2 60^circ =raiz23,a^3

Resposta

Arestas do tetraedro SABC:
SA=a, SB=SC=2a, AB=AC=araiz3, BC=2a
Área total:
Arm total=a^2l(2raiz3+raiz2r)
Volume:
V=raiz23,a^3

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