(PUC-SP) Considere o quadrilátero que se obtém unindo quatro das intersecções das retas de equações
e
e suponha que uma xícara tem o formato do sólido gerado pela rotação desse quadrilátero em torno do eixo das ordenadas. Assim sendo, qual o volume do café na xícara no nível da metade de sua altura?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero cujos vértices são as interseções das retas
,
,
e
. Esse quadrilátero é girado em torno do eixo
, gerando um sólido “em forma de xícara” de altura total
. Queremos o volume do café até a metade da altura, ou seja, até
. O conteúdo aqui é cálculo de volume por revolução usando o método dos discos.
Passo 2
Primeiro achamos os vértices do quadrilátero:
-
com dá . -
com dá . -
em dá , ponto . -
em dá , ponto .
O quadrilátero é, em cada altura
, o conjunto
onde a reta inclinada dá
Passo 3
Para cada
, ao girar em torno do eixo
, a seção transversal é um disco de raio
. A área desse disco é
Passo 4
O volume do café até a metade da altura (
) é
Calculando a integral:
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