(PUC-SP) Considere o quadrilátero que se obtém unindo quatro das intersecções das retas de equações x=0, y=0, y=6 e 3 x-y-6=0 e suponha que uma xícara tem o formato do sólido gerado pela rotação desse quadrilátero em torno do eixo das ordenadas. Assim sendo, qual o volume do café na xícara no nível da metade de sua altura?
a) 31 pi
b) 29 pi
c) 24 pi
d) 21 pi
e) 19 pi

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero cujos vértices são as interseções das retas x=0, y=0, y=6 e 3x - y - 6=0. Esse quadrilátero é girado em torno do eixo y, gerando um sólido “em forma de xícara” de altura total 6. Queremos o volume do café até a metade da altura, ou seja, até y=3. O conteúdo aqui é cálculo de volume por revolução usando o método dos discos.

Passo 2

Primeiro achamos os vértices do quadrilátero:
  • x=0 com y=0 (0,0).
  • x=0 com y=6 (0,6).
  • y=0 em 3x - y - 6=0 3x-6=0Rightarrow x=2, ponto (2,0).
  • y=6 em 3x-6-6=0 3x-12=0Rightarrow x=4, ponto (4,6).
O quadrilátero é, em cada altura yin[0,6], o conjunto
0 ;<=; x ;<=; X(y),
onde a reta inclinada dá
X(y)=y+63

Passo 3

Para cada y, ao girar em torno do eixo y, a seção transversal é um disco de raio R(y)=X(y). A área desse disco é
A(y)=pil[R(y)r]^2 =pi(y+63)^2 =pi9,(y+6)^2

Passo 4

O volume do café até a metade da altura ( y=3) é
V=integral0^3A(y), dy =pi9integral0^3(y+6)^2, dy
Calculando a integral:
integral0^3(y+6)^2, dy =[(y+6)^33]0^3 =13l(9^3-6^3r) =13(729-216) =171
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V =pi9cdot171 =19pi

Resposta

19pi (alternativa e)

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