(PUC-MG) O volume de determinado líquido volátil, guardado em um recipiente aberto, diminuiu à razão de 15% por hora. Com base nessas informações, pode-se estimar que o tempo, em horas, necessário para que a quantidade desse líquido fique reduzida à quarta parte do volume inicial é:
(Use log 10 5=0,7 e log 10 17=1,2.)
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

Passo 1

O enunciado nos diz que um líquido decresce exponencialmente à razão de 15 % ao hora. Queremos o tempo t para que o volume final seja igual a um quarto do inicial. Este é um problema de decaimento exponencial, que resolveremos usando logaritmos.

Passo 2

Seja V0 o volume inicial e V(t) o volume após t horas. Como decai 15 % por hora, em cada hora resta 85 % do que havia antes. Logo
V(t)=V0,(0,85)^t

Passo 3

Queremos V(t)=tfrac14,V0. Substituindo na fórmula:
(0,85)^t=14

Passo 4

Aplicamos log10 em ambos os lados:
t,log100,85 = log1014

Passo 5

Calculamos os dois logaritmos usando as aproximações dadas. Primeiro
log100,85 = log1085 - log10100 = log10(5cdot17) - 2 = (log105 + log1017) - 2 = (0,7 + 1,2) - 2 = -0,1
E
log1014 = -log104 = -log10(2^2) = -2log102
Como log105=0,7 então log102 = 1 - 0,7 = 0,3. Logo
log1014 = -2 times 0,3 = -0,6

Passo 6

Substituindo em t,(-0,1) = -0,6 vem
t = -0,6-0,1 = 6

Passo 7

Concluímos que são necessárias 6 horas para reduzir o volume à quarta parte do inicial, correspondendo à alternativa (c).

Resposta

c) 6

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