Num quadrilátero ABCD , inscrito em uma circunferência, o lado DA é um diâmetro. Demonstrar que subsiste entre as medidas
,
e
dos lados desse quadrilátero a relação
.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero
inscrito numa circunferência, com o lado
sendo um diâmetro de comprimento
. Os outros lados medem
,
,
. Queremos mostrar que
O conteúdo usado será:
– Teorema de Pitágoras em triângulos retângulos formados pelo diâmetro (ângulos retos inscritos),
– Teorema de Ptolemy para quadriláteros cíclicos,
– álgebra para manipular a expressão.
– Teorema de Pitágoras em triângulos retângulos formados pelo diâmetro (ângulos retos inscritos),
– Teorema de Ptolemy para quadriláteros cíclicos,
– álgebra para manipular a expressão.
Passo 2
Como
é diâmetro, os arcos
e
interceptam o diâmetro, logo os ângulos
e
são retos.
Em (retângulo em
) temos pela Posição de Pitágoras:
Em
Em
(retângulo em
) obtemos
Passo 3
Pelo Teorema de Ptolemy aplicado a
cíclico, as diagonais
e
satisfazem
Passo 4
Substituindo
,
,
,
,
,
em Ptolemy, vem
Elevando ao quadrado:
Passo 5
Expansão e simplificação:
Cancelando
e reunindo termos:
Fatorando
: