Num quadrilátero ABCD , inscrito em uma circunferência, o lado DA é um diâmetro. Demonstrar que subsiste entre as medidas \mathrm{AB}=a, \mathrm{BC}=b, \mathrm{CD}=c e \mathrm{DA}=d dos lados desse quadrilátero a relação \left(d^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}\right) d=2 a b c.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência, com o lado DA sendo um diâmetro de comprimento d. Os outros lados medem \mathrm{AB}=a, \mathrm{BC}=b, \mathrm{CD}=c. Queremos mostrar que
\bigl(d^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}\bigr)\,d \;=\;2abc.
O conteúdo usado será:
– Teorema de Pitágoras em triângulos retângulos formados pelo diâmetro (ângulos retos inscritos),
– Teorema de Ptolemy para quadriláteros cíclicos,
– álgebra para manipular a expressão.

Passo 2

Como DA é diâmetro, os arcos D\widehat{A}B e D\widehat{A}C interceptam o diâmetro, logo os ângulos \angle DBA e \angle DCA são retos.
Em \triangle ABD (retângulo em B) temos pela Posição de Pitágoras:
BD = \sqrt{DA^2 - AB^2} = \sqrt{d^2 - a^2}.
Em \triangle ADC (retângulo em C) obtemos
AC = \sqrt{DA^2 - CD^2} = \sqrt{d^2 - c^2}.

Passo 3

Pelo Teorema de Ptolemy aplicado a ABCD cíclico, as diagonais AC e BD satisfazem
AC \cdot BD \;=\; AB\cdot CD \;+\; BC\cdot DA.

Passo 4

Substituindo AC = \sqrt{d^2 - c^2}, BD = \sqrt{d^2 - a^2}, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d em Ptolemy, vem
\sqrt{d^2 - c^2}\;\sqrt{d^2 - a^2} \;=\; a\,c \;+\; b\,d.
Elevando ao quadrado:
(d^2 - c^2)(d^2 - a^2) \;=\; (a\,c + b\,d)^2 \;=\; a^2c^2 + 2abc\,d + b^2d^2.

Passo 5

Expansão e simplificação:
d^4 - (a^2 + c^2)d^2 + a^2c^2 \;=\; a^2c^2 + 2abc\,d + b^2d^2.
Cancelando a^2c^2 e reunindo termos:
d^4 - (a^2 + b^2 + c^2)d^2 - 2abc\,d = 0.
Fatorando d\neq0:
d\bigl(d^3 - (a^2 + b^2 + c^2)d - 2abc\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad (d^2 - a^2 - b^2 - c^2)\,d = 2abc.

Resposta

\bigl(d^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}\bigr)\,d = 2\,a\,b\,c.

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