De quantas maneiras podemos colocar
bolas vermelhas idênticas e w brancas idênticas em n caixas de modo que cada caixa contenha ao menos uma bola de cada cor?
Solução:
Vamos primeiro distribuir as r bolas vermelhas. Como as bolas vermelhas são idênticas, o que diferencia uma forma de distribuir de outra é a quantidade de bolas vermelhas em cada caixa. Por isso, definimos:
número de bolas vermethas colocadas na caixa
Como cada caixa deve possuir pelo menos uma bola vermelha, temos que o número de maneiras de distribuir as
bolas vermelhas nas
caixas é igual ao número de soluções inteiras positivas do sistema linear
, ou seja, existem
maneiras de distribuir as bolas vermethas.
Analogamente, calcular o número de maneiras de distribuir as w. bolas brancas nas
caixas é equivalente a determinar a quantidade de soluções inteiras positivas do sistema
. onde
, é o número de bolas brancas na caixa i. Portanto, temos
maneiras de distribuir as bolas brancas.
Solução:
Vamos primeiro distribuir as r bolas vermelhas. Como as bolas vermelhas são idênticas, o que diferencia uma forma de distribuir de outra é a quantidade de bolas vermelhas em cada caixa. Por isso, definimos:
Como cada caixa deve possuir pelo menos uma bola vermelha, temos que o número de maneiras de distribuir as
Analogamente, calcular o número de maneiras de distribuir as w. bolas brancas nas
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de colocar
bolas vermelhas idênticas e
bolas brancas idênticas em
caixas, de modo que cada caixa contenha pelo menos uma bola de cada cor. Vamos modelar separadamente a distribuição das bolas vermelhas e das brancas como problemas de soluções inteiras positivas, usando o princípio de estrelas e barras.
Passo 2
Para as bolas vermelhas, definimos
como o número de bolas vermelhas na caixa
, com
Pelo teorema de estrelas e barras, o número de soluções inteiras positivas dessa equação é
Passo 3
De modo análogo, para as bolas brancas definimos
como o número de bolas brancas na caixa
, com
Também aqui o teorema de estrelas e barras dá
maneiras de fazer essa distribuição.
Passo 4
Como as escolhas de distribuição das bolas vermelhas e das brancas são independentes, o total de maneiras é o produto dos dois resultados: