De quantas maneiras podemos colocar r bolas vermelhas idênticas e w brancas idênticas em n caixas de modo que cada caixa contenha ao menos uma bola de cada cor?
Solução:
Vamos primeiro distribuir as r bolas vermelhas. Como as bolas vermelhas são idênticas, o que diferencia uma forma de distribuir de outra é a quantidade de bolas vermelhas em cada caixa. Por isso, definimos:
v_{i}= número de bolas vermethas colocadas na caixa i, 1 \leq i \leq n
Como cada caixa deve possuir pelo menos uma bola vermelha, temos que o número de maneiras de distribuir as r bolas vermelhas nas n caixas é igual ao número de soluções inteiras positivas do sistema linear v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{n}=r, ou seja, existem \binom{r-1}{n-1} maneiras de distribuir as bolas vermethas.
Analogamente, calcular o número de maneiras de distribuir as w. bolas brancas nas n caixas é equivalente a determinar a quantidade de soluções inteiras positivas do sistema b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}=w. onde b_{1}, l \leq i \leq n, é o número de bolas brancas na caixa i. Portanto, temos \binom{w-1}{n-1} maneiras de distribuir as bolas brancas.

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de colocar r bolas vermelhas idênticas e w bolas brancas idênticas em n caixas, de modo que cada caixa contenha pelo menos uma bola de cada cor. Vamos modelar separadamente a distribuição das bolas vermelhas e das brancas como problemas de soluções inteiras positivas, usando o princípio de estrelas e barras.

Passo 2

Para as bolas vermelhas, definimos v_i como o número de bolas vermelhas na caixa i, com
\sum_{i=1}^{n}v_i = r \quad\text{e}\quad v_i \ge 1\,.
Pelo teorema de estrelas e barras, o número de soluções inteiras positivas dessa equação é
\binom{r-1}{n-1}\,.

Passo 3

De modo análogo, para as bolas brancas definimos b_i como o número de bolas brancas na caixa i, com
\sum_{i=1}^{n}b_i = w \quad\text{e}\quad b_i \ge 1\,.
Também aqui o teorema de estrelas e barras dá
\binom{w-1}{n-1}
maneiras de fazer essa distribuição.

Passo 4

Como as escolhas de distribuição das bolas vermelhas e das brancas são independentes, o total de maneiras é o produto dos dois resultados:
\binom{r-1}{n-1}\,\times\,\binom{w-1}{n-1}\,.

Resposta

\displaystyle \binom{r-1}{n-1}\,\binom{w-1}{n-1}

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