De quantas maneiras 25 rosquinhas idênticas podem ser distribuídas entre quatro policiais para que cada um receba, pelo menos, três, mas não mais que sete rosquinhas?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas da distribuição de 25 rosquinhas idênticas entre 4 policiais, sujeitas a
3 \le x_i \le 7,\quad i=1,2,3,4,
onde x_i é o número de rosquinhas do i-ésimo policial. O conteúdo envolve contagem de soluções de equações diofantinas com restrições, usando stars and bars e princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Para eliminar o limite inferior, fazemos y_i = x_i - 3. Então
y_i \ge 0,\quad y_i \le 4,\quad \sum_{i=1}^4 y_i = 25 - 4\cdot3 = 13.

Passo 3

Sem considerar o teto y_i\le4, o número de soluções de
y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 13,\quad y_i\ge0
é dado por stars and bars:
\binom{13 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{16}{3} = 560.

Passo 4

Agora aplicamos inclusão-exclusão para impor y_i\le4. Seja A_i o conjunto de soluções com y_i\ge5.
  • Para cada i, ao definir z_i = y_i - 5 temos
z_i + \sum_{j\neq i}y_j = 13 - 5 = 8,
cuja contagem é \binom{8 + 4 - 1}{3} = \binom{11}{3} = 165. Há 4 escolhas de i, totalizando 4\times165=660.
  • Para cada par i<j, exigindo y_i,y_j\ge5 subtraímos 10 ao todo, ficando
\sum_{\ell=1}^4 y_\ell = 13 - 10 = 3,
com \binom{3 + 4 - 1}{3} = \binom{6}{3} = 20 soluções. Há \binom{4}{2}=6 pares, total 6\times20=120.
  • Interseções de três ou quatro A_i dão soma negativa e não contribuem.

Passo 5

Pelo princípio da inclusão-exclusão, o total desejado é
560 \;-\; 660 \;+\;120 \;=\;20.

Resposta

20

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