De quantas maneiras 25 rosquinhas idênticas podem ser distribuídas entre quatro policiais para que cada um receba, pelo menos, três, mas não mais que sete rosquinhas?
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas da distribuição de 25 rosquinhas idênticas entre 4 policiais, sujeitas a
onde
é o número de rosquinhas do
-ésimo policial. O conteúdo envolve contagem de soluções de equações diofantinas com restrições, usando stars and bars e princípio da inclusão-exclusão.
Passo 2
Para eliminar o limite inferior, fazemos
. Então
Passo 3
Sem considerar o teto
, o número de soluções de
é dado por stars and bars:
Passo 4
Agora aplicamos inclusão-exclusão para impor
. Seja
o conjunto de soluções com
.
- Para cada
, ao definir temos
cuja contagem é
. Há 4 escolhas de
, totalizando
.
- Para cada par
, exigindo subtraímos 10 ao todo, ficando
com
soluções. Há
pares, total
.
- Interseções de três ou quatro
dão soma negativa e não contribuem.
Passo 5
Pelo princípio da inclusão-exclusão, o total desejado é
Resposta
20