Utilize as funções generalizadas para determinar o número de maneiras em que 15 animais empalhados idênticos podem ser distribuídos entre seis crianças, para que cada uma
receba, pelo menos, um, mas não mais que três animais empalhados.
receba, pelo menos, um, mas não mais que três animais empalhados.
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas de
com
para
. O conteúdo é combinatória com funções geratrizes, que permite contar distribuições sujeitas a restrições de quantidade em cada caixa.
Passo 2
Para cada criança
, o polinômio gerador é
pois ela pode receber 1, 2 ou 3 bichos. Como as seis crianças são independentes, a função geratriz total é
Queremos o coeficiente de
em
.
Passo 3
Note que
O coeficiente de
em
é igual ao coeficiente de
em
.
Passo 4
O coeficiente de
em
conta as soluções inteiras não negativas de
com
. Usamos inclusão-exclusão para impor
.
Passo 5
Sem restrição superior, há
soluções. Para cada
variáveis que violam
(ou seja,
), definimos
e recontamos. Pela fórmula de inclusão-exclusão, o número desejado é
Passo 6
Calculando termo a termo:
Somando: