Utilize as funções generalizadas para determinar o número de maneiras em que 15 animais empalhados idênticos podem ser distribuídos entre seis crianças, para que cada uma
receba, pelo menos, um, mas não mais que três animais empalhados.

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas de
x_{1}+\cdots+x_{6}=15
com 1\le x_{i}\le3 para i=1,\dots,6. O conteúdo é combinatória com funções geratrizes, que permite contar distribuições sujeitas a restrições de quantidade em cada caixa.

Passo 2

Para cada criança i, o polinômio gerador é
t^{1}+t^{2}+t^{3},
pois ela pode receber 1, 2 ou 3 bichos. Como as seis crianças são independentes, a função geratriz total é
\bigl(t+t^{2}+t^{3}\bigr)^{6}.
Queremos o coeficiente de t^{15} em \bigl(t+t^{2}+t^{3}\bigr)^{6}.

Passo 3

Note que
\bigl(t+t^{2}+t^{3}\bigr)^{6} =\bigl(t(1+t+t^{2})\bigr)^{6} =t^{6}\,(1+t+t^{2})^{6}.
O coeficiente de t^{15} em t^{6}\,(1+t+t^{2})^{6} é igual ao coeficiente de t^{9} em (1+t+t^{2})^{6}.

Passo 4

O coeficiente de t^{9} em (1+t+t^{2})^{6} conta as soluções inteiras não negativas de
y_{1}+\cdots+y_{6}=9,
com 0\le y_{i}\le2. Usamos inclusão-exclusão para impor y_{i}\le2.

Passo 5

Sem restrição superior, há
\binom{9+6-1}{6-1}=\binom{14}{5}=2002
soluções. Para cada k variáveis que violam y_{i}\le2 (ou seja, y_{i}\ge3), definimos z_{i}=y_{i}-3 e recontamos. Pela fórmula de inclusão-exclusão, o número desejado é
\sum_{k=0}^{3}(-1)^{k}\,\binom{6}{k}\,\binom{(9-3k)+6-1}{6-1} =\sum_{k=0}^{3}(-1)^{k}\,\binom{6}{k}\,\binom{14-3k}{5}.

Passo 6

Calculando termo a termo:
\begin{aligned} k=0:&\quad +\binom{6}{0}\binom{14}{5}=1\cdot2002=2002,\\\ k=1:&\quad -\binom{6}{1}\binom{11}{5}=-6\cdot462=-2772,\\\ k=2:&\quad +\binom{6}{2}\binom{8}{5}=15\cdot56=840,\\\ k=3:&\quad -\binom{6}{3}\binom{5}{5}=-20\cdot1=-20. \end{aligned}
Somando:
2002-2772+840-20=50.

Resposta

50 maneiras.

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