Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
dodecágono regular;

Passo 1

O enunciado pede o número de comprimentos diferentes que surgem ao traçarmos todas as diagonais de um dodecágono regular (12 lados). O conteúdo aqui é a fórmula do comprimento de uma corda em um polígono regular de n lados e raio circunscrito R:
ellk = 2Rsin!l(kpinr),
onde k é o número de vértices que separam as extremidades da corda, contado ao menor caminho.

Passo 2

Em um dodecágono regular temos n=12 e os valores possíveis de k (contando do vértice i até i+k) vão de 1 até lfloor 12/2rfloor=6. Cada k diferente dá um comprimento de corda distinto, pois a função sin é estritamente crescente em [0,pi/2]. Logo os comprimentos distintos são dados por
ell1,;ell2,;ell3,;ell4,;ell5,;ell6

Passo 3

Destes, ell1 é o lado do polígono, não uma diagonal, e ell2,ell3,ell4,ell5,ell6 são diagonais (sendo ell6 o diâmetro, que também conta como diagonal). Portanto, o número de comprimentos diferentes só entre as diagonais é
5

Resposta

O número de medidas, duas a duas diferentes, que se obtêm ao medir as diagonais de um dodecágono regular é 5.

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