Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
dodecágono regular;
dodecágono regular;
Passo 1
O enunciado pede o número de comprimentos diferentes que surgem ao traçarmos todas as diagonais de um dodecágono regular (12 lados). O conteúdo aqui é a fórmula do comprimento de uma corda em um polígono regular de
lados e raio circunscrito
:
onde
é o número de vértices que separam as extremidades da corda, contado ao menor caminho.
Passo 2
Em um dodecágono regular temos
e os valores possíveis de
(contando do vértice
até
) vão de
até
. Cada
diferente dá um comprimento de corda distinto, pois a função
é estritamente crescente em
. Logo os comprimentos distintos são dados por
Passo 3
Destes,
é o lado do polígono, não uma diagonal, e
são diagonais (sendo
o diâmetro, que também conta como diagonal). Portanto, o número de comprimentos diferentes só entre as diagonais é
Resposta
O número de medidas, duas a duas diferentes, que se obtêm ao medir as diagonais de um dodecágono regular é
.