Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
polígono de n lados, para n sendo ímpar?

Passo 1

O enunciado pede o número de comprimentos distintos que aparecem ao medir todas as diagonais de um polígono regular de n lados, com n ímpar. Para resolver, vamos modelar essas medições como cordas de um círculo que unem vértices do polígono.

Passo 2

Em um polígono regular de n lados inscritos em um círculo, toda corda que liga dois vértices separados por j vértices intermediários tem comprimento que depende apenas de j. Além disso, a corda com separação j é igual à corda com separação n-j, de modo que só precisamos considerar
j = 1,2,dots,n-12
para obter todos os comprimentos possíveis.

Passo 3

Quando j=1 obtemos o lado do polígono, não uma diagonal. As diagonais correspondem a
j=2,3,dots,n-12
Cada um desses valores de j gera um comprimento distinto de diagonal.

Passo 4

O número de valores inteiros de j entre 2 e n-12 é
n-12 - 2 + 1 ;=;n-32

Resposta

n-32

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