A quantidade de CO2 (em g / km ) que determinado carro emite a cada quilômetro percorrido é dada aproximadamente pela expressão 1.000-40 v+v^2 / 2, em que v é a velocidade do carro, em km / h. Determine a que velocidade deve-se trafegar com esse carro para que a quantidade emitida de CO2 não ultrapasse 250 g / km.

Passo 1

O enunciado dá a emissão de C O2 em função da velocidade v (em km/h) por
f(v)=1000-40v+v^22,
em g/km, e pede os valores de v tais que f(v)<=250. Vamos resolver essa inequação quadrática.

Passo 2

Escrevemos
1000-40v+v^22<=250
e simplificamos subtraindo 250:
1000-40v+v^22-250<=0
ou seja
v^22-40v+750<=0
Multiplicando ambos os lados por 2 (positivo), obtemos
v^2-80v+1500<=0

Passo 3

Para achar o intervalo, primeiro resolvemos a equação associada
v^2-80v+1500=0
Calculamos o discriminante:
De<a=(-80)^2-4cdot1cdot1500=400
Logo as raízes são
v=80pmraiz4002=80pm202,
isto é, v1=30 e v2=50.

Passo 4

Como o coeficiente de v^2 é positivo, a parábola v^2-80v+1500 fica abaixo ou sobre o eixo v no trecho entre as raízes. Portanto a inequação é satisfeita para
30<= v<=50
Considerando a velocidade não negativa, esse é o intervalo procurado.

Resposta

A velocidade deve estar entre 30 km/h e 50 km/h para que a emissão não ultrapasse 250 g/km.

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