Quantos números inteiros positivos entre 1000 e 9999 , incluindo este último,
são divisíveis por 5 , mas não por 7 ?

Passo 1

Resumindo, queremos contar os inteiros entre 1000 e 9999 (inclusive) que sejam divisíveis por 5 mas não por 7.
O conteúdo principal é contagem de múltiplos em um intervalo e aplicação de inclusão-exclusão, lembrando que números divisíveis por 5 e 7 simultaneamente são divisíveis por 35.

Passo 2

Contamos primeiro quantos múltiplos de 5 há entre 1000 e 9999.
O menor múltiplo de 5 nesse intervalo é
200 \times 5 = 1000,
pois 200 = \lceil 1000/5\rceil.
O maior múltiplo é
1999 \times 5 = 9995,
pois 1999 = \lfloor 9999/5\rfloor.
Logo, o número de múltiplos de 5 é
1999 - 200 + 1 = 1800.

Passo 3

Agora contamos quantos múltiplos de 35 (ou seja, de 5 e 7) há no mesmo intervalo.
O menor múltiplo de 35 é
29 \times 35 = 1015,
pois 29 = \lceil 1000/35\rceil.
O maior múltiplo é
285 \times 35 = 9975,
pois 285 = \lfloor 9999/35\rfloor.
Logo, o número de múltiplos de 35 é
285 - 29 + 1 = 257.

Passo 4

Pelo princípio de inclusão-exclusão, a quantidade de números divisíveis por 5 mas não por 7 é
1800 - 257 = 1543.

Resposta

1543

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