O raio da base, a altura e a geratriz de um cone reto formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Determine esses elementos, sabendo que o volume do cone é 144 pi cm^3.

Passo 1

O problema é sobre um cone reto de raio da base r, altura h e geratriz g, que formam nessa ordem uma progressão aritmética. Além disso, sabemos que o volume do cone é 144pi cm^3. Para resolver, vamos usar:
  1. A definição de progressão aritmética em três termos.
  2. A relação pitagórica g^2 = r^2 + h^2 num cone reto.
  3. A fórmula do volume V = tfrac13pi r^2 h.

Passo 2

Como r,h,g estão em progressão aritmética, o segundo termo menos o primeiro é igual ao terceiro menos o segundo, ou seja,
2h = r + g
e portanto
g = 2h - r
Além disso, pela geometria do cone reto vale
g^2 = r^2 + h^2

Passo 3

Substituindo g = 2h - r em g^2 = r^2 + h^2, obtemos
(2h - r)^2 = r^2 + h^2
4h^2 - 4hr + r^2 = r^2 + h^2
4h^2 - 4hr - h^2 = 0
3h^2 - 4hr = 0
Como h>0, segue
3h - 4r = 0 Longrightarrow h = tfrac43r
Então
g = 2h - r = 2l(tfrac43rr) - r = tfrac53r

Passo 4

Agora usamos o volume 13pi r^2 h = 144pi, ou seja,
r^2 h = 432
Substituindo h = tfrac43r
r^2l(tfrac43rr)=432 Longrightarrow tfrac43r^3=432 Longrightarrow r^3=324 Longrightarrow r=raiz[3]324=3raiz[3]12
Logo
h=tfrac43r=4raiz[3]12, g=tfrac53r=5raiz[3]12

Resposta

Raio: r=3raiz[3]12 cm
Altura: h=4raiz[3]12 cm
Geratriz: g=5raiz[3]12 cm

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