O raio de um cone é igual ao raio de uma esfera de 144 pi cm^2 de superfície, a geratriz mede 53 do raio. Determine a razão entre os volumes de ambos os sólidos e o volume da pirâmide regular de base hexagonal inscrita no cone.

Passo 1

O enunciado nos dá uma esfera com área de superfície igual a 144pi c m^2 e um cone cujo raio da base é igual ao raio dessa esfera e cuja geratriz mede tfrac53 desse raio. Precisamos:
1. Calcular a razão entre os volumes do cone e da esfera.
2. Determinar o volume de uma pirâmide regular de base hexagonal inscrita nesse cone.

Passo 2

Para encontrar o raio da esfera, usamos a fórmula da área de superfície:
4pi r^2 = 144pi
Dividindo ambos os lados por pi e isolando r, vem
r^2 = 36 Longrightarrow r = 6 cm

Passo 3

No cone, o raio da base é r=6 cm e a geratriz vale
g = 53,r = 53cdot 6 = 10 cm
A altura h do cone satisfaz o teorema de Pitágoras no triângulo geratriz–raio–altura:
h = raizg^2 - r^2 = raiz10^2 - 6^2 = raiz100 - 36 = 8 cm

Passo 4

Calculamos os volumes:
Vesfera = 43pi r^3 = 43picdot 6^3 = 288pi cm^3,
Vcone = 13pi r^2 h = 13picdot 6^2cdot 8 = 96pi cm^3
Assim, a razão entre os volumes é
VconeVesfera = 96pi288pi = 13

Passo 5

Para a pirâmide regular de base hexagonal inscrita na base do cone, o hexágono é regular de lado igual a r=6 cm. Sua área é
Ahex = 3raiz32,r^2 = 3raiz32cdot 6^2 = 54raiz3 cm^2
Como a pirâmide tem a mesma altura do cone ( h=8 cm), o volume fica
Vpirâmide = 13,Ahexcdot h = 13cdot 54raiz3cdot 8 = 144raiz3 cm^3 â

Resposta

Razão entre os volumes do cone e da esfera: 1:3.
Volume da pirâmide regular de base hexagonal: 144raiz3 c m^3.

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