O raio de um cone é igual ao raio de uma esfera de
de superfície, a geratriz mede
do raio. Determine a razão entre os volumes de ambos os sólidos e o volume da pirâmide regular de base hexagonal inscrita no cone.
Passo 1
O enunciado nos dá uma esfera com área de superfície igual a
c
e um cone cujo raio da base é igual ao raio dessa esfera e cuja geratriz mede
desse raio. Precisamos:
. Calcular a razão entre os volumes do cone e da esfera.
. Determinar o volume de uma pirâmide regular de base hexagonal inscrita nesse cone.
Passo 2
Para encontrar o raio da esfera, usamos a fórmula da área de superfície:
Dividindo ambos os lados por
e isolando
, vem
Passo 3
No cone, o raio da base é
cm e a geratriz vale
A altura
do cone satisfaz o teorema de Pitágoras no triângulo geratriz–raio–altura:
Passo 4
Calculamos os volumes:
Assim, a razão entre os volumes é
Passo 5
Para a pirâmide regular de base hexagonal inscrita na base do cone, o hexágono é regular de lado igual a
cm. Sua área é
Como a pirâmide tem a mesma altura do cone (
cm), o volume fica
Resposta
Razão entre os volumes do cone e da esfera:
.
Volume da pirâmide regular de base hexagonal: c
.
Volume da pirâmide regular de base hexagonal: