Reescreva as expressões abaixo usando as fórmulas de redução de potência.
tan ^4(x)

Passo 1

O enunciado pede para reescrever tan^4(x) usando fórmulas de redução de potência. Para isso vamos precisar da expressão de tan^2(x) em função de cos(2x) e da fórmula de redução de cos^2(theta).

Passo 2

Expressamos tan^2(x) em termos de cos(2x):
tan^2(x) = 1 - cos(2x)1 + cos(2x)

Passo 3

Elevamos ao quadrado para obter tan^4(x):
tan^4(x) = (1 - cos(2x)1 + cos(2x))^2 = (1 - cos(2x))^2(1 + cos(2x))^2

Passo 4

Expandimos numerador e denominador e usamos
cos^2(2x)=1+cos(4x)2.
(1 - cos(2x))^2 = 1 - 2cos(2x) + cos^2(2x) = 1 - 2cos(2x) + 1+cos(4x)2,
(1 + cos(2x))^2 = 1 + 2cos(2x) + cos^2(2x) = 1 + 2cos(2x) + 1+cos(4x)2

Passo 5

Multiplicamos numerador e denominador por 2 para eliminar frações e simplificamos:
tan^4(x) = 3 - 4cos(2x) + cos(4x)3 + 4cos(2x) + cos(4x)

Resposta

tan^4(x) = 3 - 4cos(2x) + cos(4x)3 + 4cos(2x) + cos(4x)

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