Reescreva as expressões trigonométricas abaixo como expressões algébricas.
sen(arctan (x)+arccos (1raiz5))

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a expressão
senl(arctan(x)+arccosl(tfrac1raiz5r)r)
usando apenas operações algébricas. O conteúdo aqui é a fórmula de soma de ângulos em trigonometria, além de relacionar funções inversas trigonométricas a comprimentos em triângulos retângulos.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de soma de ângulos para seno:
sen(A+B)=sen Acos B+cos Asen B,
onde A=arctan(x) e B=arccosl(tfrac1raiz5r). Logo,
senl(arctan(x)+arccos(tfrac1raiz5)r) =sen(arctan x),cosl(arccos(tfrac1raiz5)r) +cos(arctan x),senl(arccos(tfrac1raiz5)r)

Passo 3

Para A=arctan(x), sabemos que tan A=x implica num triângulo retângulo: cateto oposto =x, cateto adjacente =1, hipotenusa raiz1+x^2. Daí
sen(arctan x)=xraiz1+x^2, cos(arctan x)=1raiz1+x^2

Passo 4

Para B=arccosl(tfrac1raiz5r), temos cos B=tfrac1raiz5, ou seja, num triângulo: cateto adjacente =1, hipotenusa raiz5, e cateto oposto raiz5-1=2. Assim
cosl(arccos(tfrac1raiz5)r)=1raiz5, senl(arccos(tfrac1raiz5)r)=2raiz5

Passo 5

Agora substituímos na fórmula de soma:
sen(arctan x),cos(arccos(tfrac1raiz5)) +cos(arctan x),sen(arccos(tfrac1raiz5)) = xraiz1+x^2cdot1raiz5 + 1raiz1+x^2cdot2raiz5 = x+2raiz5,raiz1+x^2

Resposta

senl(arctan(x)+arccos(tfrac1raiz5)r) =x+2raiz5(1+x^2)

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