Resolva as equações a seguir, supondo que 0 <= x <= pi2.
cos (x2)+cos (x)=raiz22

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica
cos!l(tfracx2r)+cos(x)=raiz22
no intervalo ,0<= x<= tfracpi2. Vamos usar identidades trigonométricas (substituição de ângulo duplo e transformação em equação algébrica) para encontrar x.

Passo 2

Definimos
t = x2,
de modo que x=2t e o domínio 0<= x<= tfracpi2 vira
0<= t<= pi4
A equação original torna-se
cos(t)+cos(2t)=raiz22

Passo 3

Aplicamos a identidade do cosseno do ângulo duplo:
cos(2t)=2cos^2(t)-1
Assim
cos(t)+l(2cos^2(t)-1r)=raiz22

Passo 4

Chamamos
y = cos(t),
onde y>=0 pois tin[0,tfracpi4]. A equação fica
2y^2 + y - 1 = raiz22

Passo 5

Passamos tudo para um lado e colocamos em forma padrão:
2y^2 + y -1 - raiz22 = 0 Longrightarrow 4y^2 + 2y - 2 - raiz2 = 0
O discriminante é
De<a = 2^2 - 4cdot4cdot(-2-raiz2) =4 +16(2+raiz2) =36 +16raiz2 =4,(9+4raiz2)
Logo
y = -2 pm 2raiz9+4raiz28 = -1 pm raiz9+4raiz24
Como raiz9+4raiz2=2raiz2+1, a única raiz não-negativa é
y = -1 + (2raiz2+1)4 = raiz22

Passo 6

Temos
cos(t)=raiz22,
com tin[0,tfracpi4], logo
t = pi4

Passo 7

Voltando à variável x=2t, obtemos
x = 2cdotpi4 = pi2,
que está dentro do intervalo pedido.

Resposta

x = pi2

Exercícios de Livros Relacionados