Qual a relação entre os volumes da esfera inscrita em um cilindro equilátero e do cone cuja base é a base do cilindro, sendo o vértice do cone o centro da base superior do cilindro?
Passo 1
O enunciado envolve sólidos geométricos: um cilindro equilátero (altura igual ao diâmetro da base) que contém uma esfera inscrita, e um cone cuja base coincide com a base do cilindro e cujo vértice é o centro da base superior do cilindro. Vamos usar as fórmulas de volume:
onde
é o raio da esfera,
o raio da base do cilindro (e do cone) e
a altura do cone.
Passo 2
Num cilindro de base raio
e altura
, a esfera inscrita tem diâmetro igual a
e raio igual a
. Como o cilindro é equilátero,
. Logo
Passo 3
Substituindo
na fórmula do volume da esfera, obtemos
Passo 4
O cone tem base de raio
e vértice no centro da base superior do cilindro, portanto a sua altura é igual à altura do cilindro, isto é,
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do volume do cone, vem
Passo 6
Para comparar os volumes, fazemos
Isto mostra que
Resposta
O volume da esfera inscrita é o dobro do volume do cone.