Qual a relação entre os volumes da esfera inscrita em um cilindro equilátero e do cone cuja base é a base do cilindro, sendo o vértice do cone o centro da base superior do cilindro?

Passo 1

O enunciado envolve sólidos geométricos: um cilindro equilátero (altura igual ao diâmetro da base) que contém uma esfera inscrita, e um cone cuja base coincide com a base do cilindro e cujo vértice é o centro da base superior do cilindro. Vamos usar as fórmulas de volume:
Vesfera = 43,pi,r^3
Vcone = 13,pi,R^2H
onde r é o raio da esfera, R o raio da base do cilindro (e do cone) e H a altura do cone.

Passo 2

Num cilindro de base raio R e altura h, a esfera inscrita tem diâmetro igual a h e raio igual a R. Como o cilindro é equilátero, h=2R. Logo
r = R e h = 2R

Passo 3

Substituindo r=R na fórmula do volume da esfera, obtemos
Vesfera = 43,pi,R^3

Passo 4

O cone tem base de raio R e vértice no centro da base superior do cilindro, portanto a sua altura é igual à altura do cilindro, isto é,
H = h = 2R

Passo 5

Substituindo R e H=2R na fórmula do volume do cone, vem
Vcone = 13,pi,R^2,(2R) = 23,pi,R^3

Passo 6

Para comparar os volumes, fazemos
VesferaVcone = 43,pi,R^323,pi,R^3 = 2
Isto mostra que
Vesfera = 2,Vcone

Resposta

O volume da esfera inscrita é o dobro do volume do cone.

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