Represente graficamente, no plano cartesiano, o conjunto de pontos , tal que:
Passo 1
O enunciado pede para desenhar no plano cartesiano o conjunto de pontos P(x,y) que satisfaz
0 <= x <= 1, y >= 0, x+y <= 2
O conteúdo envolve interpretação de meias-planos e interseção de regiões em geometria analítica.
Passo 2
Interpretamos cada desigualdade como uma meia-plano:
– 0 <= x <= 1 é a faixa vertical entre as retas x=0 e x=1.
– y >= 0 é a meia-plano acima da reta y=0.
– x+y <= 2 é a meia-plano abaixo da reta y=2 - x.
Passo 3
Determinamos os vértices da região comum, encontrando interseções das retas envolvidas:
– x=0 e y=0 dão o ponto (0,0).
– x=1 e y=0 dão o ponto (1,0).
– x=1 e y=2 - x dão (1,1).
– x=0 e y=2 - x dão (0,2).
Logo, a região é o trapézio convexo de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,2).
Passo 4
Para esboçar o gráfico:
Desenhe os eixos x e y.
Trace as retas x=0, x=1, y=0 e y=2-x.
Marque os vértices (0,0), (1,0), (1,1), (0,2).
Sombreie a região interna ao trapézio formado por essas quatro retas.
Resposta
A região é o trapézio com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,2), situado entre as retas x=0, x=1, y=0 e y=2-x.
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 229