Resolva cada uma das seguintes equações diofantinas:
e) -26 x+39 y=65

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diofantina linear
-26x + 39y = 65
O conteúdo aqui é encontrar inteiros x,y que satisfaçam essa relação, usando o cálculo de máximo divisor comum e depois escrevendo a solução geral.

Passo 2

Primeiro calculamos o máximo divisor comum de 26 e 39:
gcd(26,39)=13
Como 13 divide o termo independente 65, a equação tem solução inteira.

Passo 3

Dividimos toda a equação por 13 para torná-la mais simples:
-2613x + 3913y = 6513 Longrightarrow -2x + 3y = 5

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular de
-2x + 3y = 5
Testando valores de y módulo 2, queremos 3yequiv5pmod2, ou seja, yequiv1pmod2. Tomando y=1, temos
-2x + 3cdot1 = 5 Longrightarrow -2x = 2 Longrightarrow x = -1
Logo (x0,y0)=(-1,1) é uma solução particular.

Passo 5

Como gcd(-2,3)=1, a solução geral da equação reduzida é
x = x0 + 3t = -1 + 3t, y = y0 + 2t = 1 + 2t,
onde t é qualquer inteiro. Voltando à equação original, a forma não muda pois dividimos apenas por 13.

Resposta

A solução geral em Z é
l(x,yr) = l(-1 + 3t,;1 + 2tr), tinZ

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