Resolva as desigualdades a seguir.
x^3-2 x >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^3 - 2x >= 0
O conteúdo envolve inequações polinomiais de grau 3, que vamos tratar por fatoração e estudo de sinal dos fatores.

Passo 2

Vamos fatorar o polinômio x^3 - 2x. Note que há fator comum x:
x^3 - 2x = x,(x^2 - 2)
Em seguida, x^2 - 2 é uma diferença de quadrados:
x^2 - 2 = (x - raiz2)(x + raiz2)
Logo, em forma totalmente fatorada:
x^3 - 2x = x,(x - raiz2),(x + raiz2)

Passo 3

As raízes da expressão são x = -raiz2, x = 0 e x = raiz2. Para estudar o sinal de
x,(x - raiz2),(x + raiz2) >= 0
dividimos a reta real em quatro intervalos e vemos o sinal de cada fator:
  • x < -raiz2:
    x<0 ( -), ,x-raiz2<0 ( -), ,x+raiz2<0 ( -)
    Produto: (-)cdot(-)cdot(-) = -.
  • -raiz2 < x < 0:
    x<0 ( -), ,x-raiz2<0 ( -), ,x+raiz2>0 ( +)
    Produto: (-)cdot(-)cdot(+) = +.
  • 0 < x < raiz2:
    x>0 ( +), ,x-raiz2<0 ( -), ,x+raiz2>0 ( +)
    Produto: (+)cdot(-)cdot(+) = -.
  • x > raiz2:
    x>0 ( +), ,x-raiz2>0 ( +), ,x+raiz2>0 ( +)
    Produto: (+)cdot(+)cdot(+) = +.
Como a desigualdade é “ >= 0”, incluímos também os pontos onde cada fator se anula, ou seja, x=-raiz2, x=0 e x=raiz2.

Passo 4

Das análises acima, o produto é não negativo em
-raiz2 <= x <= 0 e em x >= raiz2

Resposta

boxed[-raiz2,,0];cup;[raiz2,,infty)

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