Simplifique a expressão racional.
\frac{x+3}{x-3}+\frac{x}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a soma de duas frações algébricas
\frac{x+3}{x-3} \;+\;\frac{x}{x+3}.
O conteúdo aqui é soma de expressões racionais: precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores, reescrever cada fração com esse denominador comum, somar os numeradores e, por fim, ver se dá para simplificar o resultado.

Passo 2

Identificamos os denominadores e o domínio de definição:
Denominadores: x-3 e x+3.
Domínio: x\neq 3 e x\neq -3, pois nessas raízes as frações não estão definidas.

Passo 3

O mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores x-3 e x+3 é
(x-3)(x+3).
Reescrevemos cada fração com esse denominador:
\frac{x+3}{x-3} =\frac{(x+3)\,(x+3)}{(x-3)(x+3)} =\frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)},
\frac{x}{x+3} =\frac{x\,(x-3)}{(x+3)(x-3)} =\frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)}.

Passo 4

Somamos as duas frações, agora com denominador comum:
\frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)} \;+\; \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+3)^2 + x(x-3)}{(x-3)(x+3)}.
Calculamos o numerador:
(x+3)^2 + x(x-3) = \bigl(x^2+6x+9\bigr) + \bigl(x^2-3x\bigr) =2x^2 + 3x + 9.
Não há fator comum que divida 2x^2+3x+9, pois o discriminante é negativo. Logo a forma simplificada final é

Resposta

\frac{2x^2+3x+9}{(x-3)(x+3)}, \quad x\neq 3,\;x\neq -3.

Exercícios de Livros Relacionados