Resolva as equações:
log (x-1)(x^3-x^2+x-3)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log(x-1)l(x^3-x^2+x-3r)=3
O conteúdo aqui é equação logarítmica. Para resolver, vamos precisar
  1. Identificar as condições de existência do logaritmo (domínio do base e do argumento).
  2. Usar a definição equivalente em forma exponencial.
  3. Resolver a equação algébrica resultante e verificar quais soluções satisfazem o domínio.

Passo 2

Determinamos as restrições para que log(x-1)l(x^3-x^2+x-3r) faça sentido:
  1. O argumento deve ser positivo:
x^3-x^2+x-3>0
  1. A base deve ser positiva e diferente de 1:
x-1>0 e x-1neq1
Isto é,
x>1 e xneq2

Passo 3

Usamos a equivalência
logb(A)=3 Long<=ftrightarrow A=b^3,
desde que b>0, bneq1 e A>0. Aqui b=x-1 e A=x^3-x^2+x-3. Logo,
x^3-x^2+x-3 = (x-1)^3

Passo 4

Expandindo (x-1)^3 e igualando:
(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1,
então
x^3-x^2+x-3 = x^3-3x^2+3x-1
Subtraindo o segundo lado do primeiro:
l(x^3-x^2+x-3r);-;l(x^3-3x^2+3x-1r)=0
2x^2-2x-2=0 Long<=ftrightarrow x^2-x-1=0

Passo 5

Resolvendo x^2-x-1=0 pela fórmula de Bhaskara,
x = 1pmraiz1+42 = 1pmraiz52
As raízes são
x1=1+raiz52approx1,618, x2=1-raiz52approx-0,618

Passo 6

Verificamos o domínio para cada raiz:
  1. x1=tfrac1+raiz52>1 e neq2. Além disso,
x1^3-x1^2+x1-3>0,
logo é válida.
  1. x2=tfrac1-raiz52<1, faz x-1<0, o que invalida a base do logaritmo.
Portanto, a única solução que satisfaz todas as condições é x1.

Resposta

x = 1+raiz52

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