Resolva a equação log x(2 x+3)=2.

Solução

log x(2 x+3)=2 Rightarrowc 0<x neq 1 e 2 x+3=x^2
Resolvendo (2), temos:
x^2=2 x+3 Rightarrow x^2-2 x-3=0 Rightarrow x=3 ou x=-1.
Somente x=3 é solução, pois deve satisfazer (1).
S=3

Passo 1

Aqui queremos resolver a equação logx(2x+3)=2. O conteúdo principal envolve propriedades de logaritmos (domínio e definição) e, em seguida, resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, analisamos o domínio da expressão logx(2x+3):
– A base x deve satisfazer
x>0e xneq1
– O argumento 2x+3 deve ser positivo:
2x+3>0;Longrightarrow;x>-tfrac32
Combinando tudo, precisamos de
x>0,;xneq1

Passo 3

Usamos a definição do logaritmo:
logx(2x+3)=2 Longrightarrow 2x+3 = x^2

Passo 4

Reescrevendo como equação padrão, temos
x^2 - 2x - 3 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-3)2 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
logo as raízes são
x = 3 ou x = -1

Passo 5

Verificamos qual delas satisfaz o domínio:
– Para x=3: 3>0, 3neq1 e 2cdot3+3=9>0. Válido.
– Para x=-1: falha em x>0.
Então a única solução aceitável é x=3.

Resposta

A solução da equação é 3.

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