Resolva a equação log 2(x-2)+log 2(3 x-2)=log 2 7.

Solução

Vamos estabelecer, inicialmente, a condição de existência dos logaritmos, isto é:
l x-2>0 Rightarrow x>2 3 x-2>0 Rightarrow x>23 Rightarrow x>2
Resolvendo a equação, temos:
log 2(x-2)+log 2(3 x-2)=log 2 7 Rightarrow log 2[(x-2)(3 x-2)]=log 2 7 Rightarrow
Rightarrow(x-2)(3 x-2)=7 Rightarrow x=3 ou x=-13
Somente x=3 é solução, pois satisfaz a condição (1).
S=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de logaritmos em base 2
log2(x-2)+log2(3x-2)=log27
O conteúdo é a soma de logaritmos, que leva à propriedade de produto, e também exige verificar as condições de existência dos logaritmos.

Passo 2

Precisamos ter os argumentos dos logaritmos positivos:
x-2>0, 3x-2>0
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x>2

Passo 3

Aplicando a identidade log2a+log2b=log2(ab), reescrevemos a equação como
log2l[(x-2)(3x-2)r]=log27
Como a função log2 é injetora, basta igualar os argumentos:
(x-2)(3x-2)=7

Passo 4

Expandindo e rearranjando em forma de equação quadrática:
(x-2)(3x-2)=3x^2-8x+4=7 Longrightarrow 3x^2-8x-3=0
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
De<a = (-8)^2 -4cdot3cdot(-3)=64+36=100,
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x = 8pmraiz1006 = 8pm106,
obtendo as raízes
x=3 ou x=-tfrac13

Passo 5

Da condição x>2, só cabe x=3. A solução x=-tfrac13 é rejeitada por não satisfazer o domínio.

Resposta

A única solução é x=3.

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